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高校数学ではこれが定義だから証明出来ませんよ。
あえて言うなら別の定義を元にこの式を導くことはできます。
(別の定義は高校数学としてのネイピア数(オイラー数)eの定義ではないことに注意)
(a^x)を微分しても(a^x)となる実数aの値をeとおく。
このとき導関数の式から
lim(h→0){a^(x+h)-a^x}/h=a^x
lim(h→0)(a^x){(a^h)-1}/h=a^x
よってlim(h→0){(a^h)-1}/h=1となる。
このとき
両辺にhを掛けた後、両辺に1を加え、更に両辺を1/h乗すると
a=lim(h→0)(1+h)^(1/h)
となる。
h=1/tとおくと
a=lim(t→∞)(1+1/t)^t
となるため、これを満たすaがネイピア数eと定義されるとわかる。
＜ご参考＞
定義（決めたこと）なので、証明はできませんが、収束することは証明できます。その収束値がeです。
→収束することの証明と、その収束値は求めることができます(無理数なのでeとして定義。πと同様）。
e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…
（収束の証明）https://manabitimes.jp/math/714#4
余談ですが、↑で私が話しているのはオイラーの定義です。
これを高校数学に載せられないのは進度の都合上、eの微分より先に極限の分野でeの定義を示す必要があるので、微分を前提とした定義は扱えないからですね。
教科書の定義は複利の分野を調べていた数学者が見つけた定義であり、全く別の分野がたまたま一致することが後に分かったという数学的な歴史があります。
(複利は数列の分野で説明できるので、教科書の都合上こちらを採用するしかなくなります)