Question

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この問題の セソタチ について質問です！
答えが2ページ目のようになるのは何故でしょうか、？
どのような図になるのか全く想像できないので、図などで解説して頂けると幸いですm(_ _)m

1をCとする。
1である。
step2
速効を使って問題を解く
アプローチ
を正の実数とし、座標平面上に点P(1, k) をとる。 また, 放物線y=-
める
ア
(1)点(11/21)に におけるCの接線の方程式はイ
また,点 (1,212-1)を通り、接線に垂直な直線の方程式は
[オ
I ty=t
である。直線 mが点Pを通るようなtの値の個数を求めよう。
直線が点Pを通るとき, tは方程式
オ
t
カ kt-キ |= 0
を満たす。 この方程式の左辺を f(t) と表すとき、関数 f(t) は
ク
コ
V
t=-
のとき,極大値
-k√k-z
ケ
シ
V
クk
コ
サ
t =
このとき、極小値
-kvk- ス
ケ
f
シ
をとる。これより,直線が点P を通るようなtの値の個数について
セ
セ
0<k<
個
くんのときチ個
ソ
ソ
であることがわかる。

ここで、f'(t)=3f-2k=0のとき22kであるから、このとき
P-2kt-2=F.t-2k-2=//k-2k1-2
よって, 極値は,
=-kt-2
46
9
(土) 45kvE-2(複号同順)
したがって,f(t)は,
✓6k
1=-
このとき、極大値 4.6k
4√6
3
-k√k-2
/6k
1=
のとき、 極小値
3
9
4√6 k√k-2
をとる。
･･････ク~スの (答)
直線が点Pを通るようなtの
値の個数は、
3次方程式 ③の実数解の個数に等しいからE
y=f(t) のグラフを考えると,
k0 より, 極大値と極小値の値が等しくなることはないので、
(i) 極大値が正, 極小値が負のとき
3個
() 極大値,極小値のいずれかが0のとき
2個
() 極小値と極大値の符号が等しいとき
1個
③の実数解の個数は=f(t)のグラフ
軸との共有点の個数に等しいから。
f(t) の増減を調べ極大値 極小値の
正負を調べればよいことになる。
(i), (ii), () をグラフで図示すると,以下の
ようになる。
メモ
(i)
y=f(1)
(ii)
9
となる。
f(t) = 0 が異なる3つの実数解をもつときは, (i) の場合で,
(極小値) <0 < (極大値) より,
4√√6
-k√k-2<0<- 9
(
46_k√k-2......
(iii)
>0より,④の左側の不等式(極小値)=
1=-
4√6
-kk-2<0は
9
常に成り立つので, ④の右側の不等式より,
4√6
0
9
-k√√k-200
4√6
Dae
-k√√k >2
9
k√√k >
9
2√√6
27
3
よって,k>
-より,k>
8
2
3
すなわち, k>
2
このとき, (極大値) > 0, (極小値) < 0
同様に,
3
ANS
k=1のとき,(極大値) = 0, (極小値) < 0 であるから,
これは (ii)の場合。
k<
11のとき,(極大値) < 0, (極小値)<0となるので,
これは(Ⅲ)の場合。
したがって, 直線が点P を通るようなtの値の個数は,
3
2
0kく このとき, 1個 ・・・... セ,ソ,タの (答)
G
3
くんのとき,3個 ・チの (答) G
2
a
「①直線が点Pを通るようなtの値の
個数→② 3次方程式の実数解の個数→3
y=f(t) のグラフと軸との共有点の個
「数」 の読みかえがポイント。
数

数学
数学
微分法・積分法
ユニット
6
微分・積分と面積
速効を使って題意をつかめたか確認しよう
【アブロード
(1) 曲線=f(x) 上の点 (a.f(x)) における接線の方程式は、
(a)) として求めることができる。
12/28-1①より、ダニエ
よって、
(1.12121-1) における接線の方程式は、
上の点
(-1)-(2-1)
よって、12-1
......ア、イの (答)
傾き(0)の直線と垂直な直線の傾きは であることを
利用する。
点 (4126-1)を通り、接線に垂直な直線の傾きは、
10のときであるから、直線の方程式は、
B
(12/21)
y=-
12/12 となるから
m: 2x+2ty=t
... ②
t=0のとき 直線の方程式は0となり,②は t=0
のときも満たしている。
よって、mの方程式は,
m:2x+2ty=ウエオの (答)
この直線②が点P(1, k) を通るから, C
2+2tk=t³
ピ-2kt-20 ...... ③ ・カキの (答)
この③の左辺をf(t) とおくと,
f(t) =-2kt-2,f'(t) = 3t2-2k
k>0より、f'(t)=3f2-2k=0は異なる2つの実数解
y6k
t=±
3
をもつので,f(t)の増減表は次のようになる。
t
***
f'(t)
f(t)
√6k
3
√6k
...
3
+
0
0
+
極大
極小
D
C