Question

白猫

なぜkを使って赤線の式とおけるのですか？
解説お願いします🙏

△
* 66 (1) ユークリッドの互除法を用いて, 89 29の最大公約数を求めよ。
△(2) 2元1次不定方程式 89x+29y=1 の整数解を1組求めよ。
△ (3) 2元1次不定方程式 89x+29y=-20 の整数解として現れるxの値のう
ち正のものを小さい順にX1,X2, X3, ･･････とする。 このとき, 自然数に
対して, xm をm で表せ。
[16 岩手大]
+++ 1次不定方程式 まず, 方程式を満たす整数解を1つ見つける。 方程式の係数が
ポイント 大きく, 整数解が簡単に見つからない場合は,ユークリッドの互除法を利用して
見つける。

で
よって、②から
0001
66 (1) 89=29・3+ 2
MOLO
29=2.14+1
2=1.2
よって, 最大公約数は 1
(2) ①を変形すると2=89-29・3
1=29-2・14=29-(89-29.3)・14
101.0=
=89(-14)+29.43
TO
すなわち 89・(-14) + 29.43=1
したがって, 89x+29y=1の整数解の1つは
(x,y)=(-14,43)
2=xar
③③3
別解 89=29・3+2より, 89x+29y=1は
(29.3 + 2)x+29y=1
すなわち 29(3x + y) +2x=1
..①
......
x, yは整数より, 3x+y は整数である。 "II (S)
よって, ① を満たす3x+y, xの組の1つは
る。
(3x+y, x)=(1, -14)+10 otros
ゆえに(x,y)=14,43)
IV
(3) 89x+29y=-20
③ の両辺に −20 を掛けると
89・280+ 29･(-860)=-20
⑤
④ ⑤ から
すなわち 89(x-280)=-29(y+860)
89(x-280)+29(y+860) = 0
89 29 は互いに素であるから,kを整数として
x-280=29kと表される。
よって x=29k + 280
(20
******
⑥
k-9のとき
xが最小の正の整数となるのは
である。
m=k+10 とおくと,
k=-9のときm=1,
k=-80m=2, ......
であり,⑥から
x=29(m-10)+280=29m-10

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まんぼ

すでにxを整数k(k>=-9)を用いて表せているのですが、xを自然数m(m>=1)を使って表したいです

なので、kを自然数mを用いて表すと解決します

k🟰m-10とすると、各々の取りうる値を変えないままkをmを使って表せます

白猫

回答ありがとうございます！

kをmを使って表すと良いということはわかったのですが、この式だとmの値を勝手に決めているように感じるのですが、それでもいいのでしょうか？？

また、kは29のk倍がx-280の時に使っているのにどうしてmの値を表すことができるのかがわかりません。

可能であれば教えて欲しいです🙇‍♀️

まんぼ

そうですね、ではkやmとは一体何を表しているか考えていきましょう。
kは元々全ての整数が入りうる変数でしたが、⑥やその後の文より、kは-9以上の全ての整数が入りうる変数となりました
mは全ての自然数、つまり全ての1以上の整数が入りうる変数です。

mは変数であり、0以上の全ての整数が入りうるので、入る自然数が勝手に決めることはありません
ただ、mが定まるとkも定まる(逆もしかり)という対応関係を作っています。kの最小値-9をmの最小値1に対応させるためにはk🟰m-10である必要性があります。

帰宅したら、必要であれば紙に書きます

まんぼ

mは1以上の整数が正しいです

白猫

何度も回答ありがとうございます！！

mの値を勝手に決めているというよりかは、
「k=-9のときに最小になることがわかったため、そのときにm=1となることもわかる。
その後のm=2,3,…と続いていくときにkは整数だからk=-8,-7…と1ずつ増えていくとわかるため自然とm=k+10という式になる。」
というように解釈しました。

間違っていたら教えてください🙇‍♀️

まんぼ

合ってます！

白猫

よかったです！！しっかり理解できました！
詳しい解説ありがとうございました🙇‍♀️