参考・概略です
＞なぜ、LH垂直PQ,MH垂直PQなのですか？
●問題や条件が不明なので
何とも言えません
＞また、LH垂直PQ,MH垂直PQならば、
LP=LQ, MP=MQになる理由も教えてください。
●ＬＨ⊥ＰＱ，ＭＨ⊥ＰＱだけでは言えませんが
図に記されているＰＨ＝ＱＨを条件として加えれば
△ＰＨＬ≡△ＱＨＬ，△ＰＨＭ≡ＱＨＭとなるので
ＬＰ＝ＬＱ，ＭＰ＝ＭＱになります
補足
合同条件は,
「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
です
直線と垂直条件の証明と分かればLH垂直PQ,MH垂直PQならば、
LP=LQ, MP=MQになる理由がわかりますか？
＞直線と垂直条件の証明です。
＞解答ではＬＨ⊥ＰＱ，ＭＨ⊥ＰＱから
＞LP＝LQ、MP＝MQを、証明しているのですが。
●ＬＨ⊥ＰＱ，ＭＨ⊥ＰＱだけでは言えませんが
図に記されているＰＨ＝ＱＨを条件として加えれば
△ＰＨＬと△ＱＨＬで
仮定(図)より
ＰＨ＝ＱＨ ･･･ ①
共通辺より
ＬＨ＝ＬＱ ･･･ ②
仮定(ＬＨ⊥ＰＱ)より
∠ＰＨＬ＝∠ＱＨＬ＝90 ･･･ ③
①，②，③より
[２組の辺とその間の角がそれぞれ等しく]
△ＰＨＬと△ＱＨＬ
合同な図形の対応する辺の長さは等しく
ＬＰ＝ＬＱ
同様にして
△ＰＨＭと△ＱＨＭを考え
ＭＰ＝ＭＱ
という感じで証明できます
直線と垂直条件の証明です。解答ではＬＨ⊥ＰＱ，ＭＨ⊥ＰＱからLP＝LQ、MP＝MQを、証明しているのですが。