Question

みみ

解説の（ⅱ）でどちらかがy軸の時を考えているのですがどちらかがx軸の場合を考える必要はないのでしょうか？教えて頂きたいです。

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有理数・無理数,2直線のなす角一
6 座標平面上で,x座標, y 座標がともに整数である点を格子点と
いう。次の問いに答えよ。ただし、V3が無理数であることを証明な
しに用いてもよい。
(1) 直線 y=
1
1 + √3
x+1+√3 が通る格子点をすべて求めよ.
JE
(2)原点を通る2直線 l m について考える. 1,m がそれぞれ原点
以外にも格子点を通るとき 1,mのなす角は、60°にならないこと
を証明せよ.
(同)
[山口大 ]

1) 直線が通る格子点を (x, y) とすると,
1
y =
x+1+√3
1 + √3
.
y =
√3-1x+
-x+1+√√3
2

40-6
x+2y-2-(x+2)√√3 = 0
x, y は整数 (有理数) で, 3 は無理数だから,
x+2y -2 = x + 2 = 0
...(x,y)=(-2, 2)
(2)(i)1,m がいずれもy軸でないときを考える.このとき,1の傾きを
pとし,1が通る原点以外の格子点を (a, b) とすると, a≠0で
p = ==(有理数)
a
である.同様にして,mの傾きをq とすると q は有理数である.
1,m のなす角が60°であると仮定する。 このとき1,mのx軸の正方向
からの回転角をそれぞれα, β とし,β-α=60°としてよい。 すると
tano = p, tanβ = q
平
であり,
tan β-tana
tan (β-α)=tan 60°
=
√√√3
1 + tan βtana
g-P=√3
==
①
1+qp
tan 30° =
1
√3
により,他方の直線は y=±
l, m は直交しない (60° をなす) ので, pq キ-1であり,①の左辺は,分子
分母ともに有理数だから有理数であり,√3が無理数に反する。
(i)/またはmがy軸のとき, 1, m のなす角が60°であると仮定すると,
1 x となり、この直線が通
✓3
る原点以外の格子点を (c, d) とするとd ¥0でV3 = となり、V3が
無理数であることに反する.
C
d
以上から題意が示された.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

y軸は傾きが定義されないから、
y=pxのようにおけません
だから、別途考える必要があります
x軸は単に傾き0というだけだから、
別に論じる必要がありません