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参考・概略です
>最後のn3乗-7n+9=3に1,2,-3を代入したら=3になるのですが
>これって全部やらなければならないのですか?
●やる必要はありません
解説なさる方が「このようにすると気が付きますよね?」
という確認のようなものです
●最初から、
n³-7n+9
=(n³-n)-6n+9
=(n-1)n(n+1)-3(2n-3)
として
①(n-1)n(n+1)は連続する3つの整数の積なので3の倍数
②-3(2n-3)は3の倍数
①②より、n³-7n+9は3の倍数
という流れで良いと思います
>なぜ1,2,-3を代入していいと答えが出ると分かるのでしょうか?
●?部分的に説明します
㋐「なぜ1,2,-3を代入していい」について、
文字式なので、制限が無い限り、どんな値を代入しても良いです
㋑『「なぜ1,2,-3を代入していい」と答えが出る』について
『代入して答えがでる』わけでは在りません。でません
㋒【『「なぜ1,2,-3を代入していい」と答えが出る』とわかる】
このようなことは最初から、わかるわけではありません。
いろいろと試行錯誤して考えているだけです
そして、それを見た方は同じような試行錯誤の仕方を学んでいるのです
つまり、決まったものを覚えているわけでは在りません
(もちろん、基礎的なものは暗記しなければなりませんが)
すみません、ではなぜn3乗-7n+9=3はしたがって【n-1】【n-2】【n+3】=0になる途中式を教えてください。
ご質問は、問題そのものではなく
nについての3次方程式 n³-7n+9=3 を解くことなのでしょうか?
とすれば、私が誤解していたようです。御免なさい。
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3次方程式の解の公式を用いるか、因数定理を利用するかだと思います
●因数定理を用いた場合(nが整数であることを前提にしているので)
一例です
n³-7n+9=3 から
n³-7n+6=0 で
f(n)=n³-7n+6 とし
6の因数が{±1,±2,±3,±6}であることをもとに、順次考えると
f(+1)=(+1)³-7(+1)+6=0 より
f(n)=n³-7n+6 は (n-1)を因数に持つので
(n³-7n+6)/(n-1)=n²+n-6 を求めることにより
f(n)=(n-1)(n²+n-6)
これにより
n³-7n+6=0
(n-1)(n²+n-6)=0
更に、(n²+n-6)が、nの2次式となっているので因数分解し
(n-1)(n-2)(n+3)=0
というような流れが考えられます
高次方程式と因数定理のあたりを復習するとよいかと思います
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追伸:
ご質問の意味を取り違え、無駄な回答をして
ご迷惑をおかけしたようです。すみませんでした。
いえいえ、教えてくれてありがとうございます
①-②まで言っている事は分かりました。また、n3乗-7n+9が3の倍数になる事も分かったのですが、それでもなぜ1,2,-3を代入していいと答えが出ると分かるのでしょうか?