Question

みみ

（3）なのですがどのように考えたらこのような解法が導き出されるのかわからないです。教えて頂きたいです。

総合 (1) 四面体 ABCD と四面体 ABCP の体積をそれぞれV, VP とする。
VP
8 (ア) AP=tAD が成り立つとき、体積比 1 を求めよ。
VP
(イ)AP=bA+cAC+dADが成り立つとき、体積比 17 を求めよ。
●(2)四面体 ABCD について, 点 A,B,C,Dの対面の面積をそれぞれα, B, Y, ôとする。原
点をOとしてOA+BOB+yOC+80D
a+B+y+8
となる点を考える。 四面体 ABCD の体積
をVとするとき, 3点 A, B, C を通る平面と点Iの距離を求めよ。
(3)(2)の点は四面体 ABCD に内接する球の中心であることを示せ。
(1) (ア) AP=tADのとき
AP=|t|AD
よって
VP = ADD
AP_|t|AD
=
=|t|
AD
(イ)QをAQ=dAD を満たす点とすると
[早稲田大 ]
本冊数学C 例題 61
(1) V, VP について, 底
面を△ABCとしたとき
の高さについて考える。
(イ)
>O
[AP-AQ=bAB+cAC
6+8+ Q
C1
すなわち QP=bAB+CAC
ゆえに, 直線 PQ は平面 ABC と平行である。
よって, VP は四面体 ABCQの体積に等しい。
[A 画
A
B
VP
これと (ア) から
V P = |d|
合
V
いつの
(2) AI=Oi-OA
αOA + BOB + OČ+8OD
=a+B+y+δ
体積比は頂天から
出る方が分かり易い
-OA

236-
数学C
8
a+β+y+8
a+By+alv
V すなわち
a+β+y+8
=Q(-AO)+B(AB-AO)+(AC-AO)+8(AD-AÔ)
a+β+y+8
BAB+yAC+6AD-(a+β+y+8) AO
BAB+yAC+8AD
+AO
a+β+y+8
a+β+y+8
ゆえに、(1)(イ) の結果から, 四面体 ABCIの体積は
8
← (1) (イ) が利用できるよ
うに, AIをAB, AC,
+AO
←点Aに関する位置べ
アクトルの式に直す。
AD を用いて表す。
V
10
また,四面体 ABCIについて, △ABC を底面と見ると,底面
可聞の
結果の
積は,高さはであるから
←点Dの対面の面積は
利用
11/18 r = a+b+r+o
8
V
8である。
-20
よって r=
3VZ
a+β+y+8
(3)(2)と同様にして考えると,平面 ABD, 平面 ACD, 平面
BCD と点Iの距離は,いずれも
3V
となる。
a+β+y+8
ゆえに,点Iは平面 ABC, ABD, ACD, BCD から等距離にあ
る。
①
ここで,Af=β+y+8
a+β+y+8
BAB+yAC+δAD
B+y+8
において,
BAB, YAC, SADK
注目して,
AE-
=
BAB+yAC+8AD
B+y+8
とすると
BAB+yAC+AD
B+y+8
B+y+8
AI=
a+β+y+8
AE
の形が現れるように変形
する。
1
また
AE
B+y+8
BAB+(y+6) YAC+68AD
r+8
辺 CD を 8 : y に内分する点をF とすると
AE
BAB+(y+8)AF
=
B+y+8
(*) 一般に,一直線上
よって, 点Eは線分 BF を (y+ δ) : βに内分する点であるかにない3点 A,B,Cに
ら,ABCD の内部にある。 (*)
・・・・・
OP=sOA+tOB+uOC,
対して,
更に, Ai=-
β+y+8
a+β+y+8
B+y+8
AE, 0<
a+β+y+8
<1であるから, s>0, t>0, u>0,
|s+t+u=1を満たす点
点Iは四面体 ABCD の内部に存在する。 ②
・・・・・
Pは △ABCの内部にあ
① ② から, 点Iは四面体 ABCD に内接する球の中心である。る。
(1)