Question

し　【難関大学志望】

解説見ても分かりません💦
【2】なんで4の倍数かつ5の倍数でない数を求めなきゃいけないのですか？
【3】なんで2通りの場合分けが出てくるのか教えてください！
また、なんで10の倍数かつ4の倍数でない数を求めるのですか？

問題 5-11
難
自然数α, bに対し,a ◇bはaとbの正の公約数の個数を表すもの
とする。例えば、6と10の正の公約数は1と2の2つだから,
610=2となる。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)812を求めよ。
以下では,cは100以下の自然数とする。
(2)c◇20=3となるcの個数を求めよ。
(3)◇20=4となるcの個数を求めよ。
(東京理大)

選は3個
_2) g = G(c, 20) とおくと,
c◇20=3g の正の約数の個数が3
であるから,gの素因数分解の形は
g=ppは素数
はと20の最大公約数なので、
とわかる。g は 20 の約数でもあるので,”は 20 の約数
g=420の約数での形のものは2”しかない
でなければならない。
よって, cは100 以下の自然数で
4の倍数かつ5の倍数でない数
である。は右図のAの要素
したがって, 求めるcの個数は
25-5←㎖ (AB)
(A)(B)なんと
cが4の倍数かつ5の倍数だと
g=G(c, 20)=20に
なってしまうから不適
U (1~100).
A (4の倍数) B (5の倍数)、
20個)
(3) c◇20=4
gの正の約数の個数が4
であるから,gの素因数分解の形は
(i)g = が または (ii)g = pq (pg は異なる素数)
とわかる。
(i) g=pのとき
7765
gは20(225) の約数であるからこの場合は不適。20の約数での
(i) gpg のとき
gは20(=22.5) の約数であるから,
g=1020の約数でかg の形のものは2・5しかない
でなければならない。
よって, cは100 以下の自然数で
10の倍数かつ4の倍数でない数
である。
と分か
形のものは存在し
ない
←cが10の倍数が4の倍数だと
g=G(c, 20)=20となり不適
したがって、求めるcの個数は 10,305070 90 5個。
(2)のように求めてもO.K. (直接数えた方が速い)