Question

カイ

高次方程式で因数定理を使って解いたのですが、答えまでたどり着けません。因数定理を使って解くことは可能ですよね？

5
次の方程式を解け。
x4-3x-7x2+15x+18= 0
x =
ス
セソ
タチ
(ただし,
セソ> タチ とする。)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

なゆた

f(x)=x⁴−3x³−7x²+15x+18とするとき
f(−1)とかf(−2)とかf(3)で0になりませんか？

答えの手がかりぽいのを置いときますね

カイ

確かに組立除法でもいけますね！ありがとうございました！最終的に筆算でゴリ押ししたら解けました

Answer 2

mo1

参考・概略です

f(x)＝x⁴－3x³－7x²＋15x＋18＝0　として

　18の約数{1，2，3，6，9，18}に留意し
　　f(±1)，f(±2)，f(±3)，f(±6)，f(±9)，f(±18)を
　　　順次求める(4次なので、2つ見つけ後は2次方程式を解く)

　①f(＋1)＝ 1－ 3－ 7＋15＋18＝24
　②f(－1)＝ 1＋ 3－ 7－15＋18＝ 0 ･･･ (x＋1)を因数に持つ
　③f(＋2)＝16－24－28＋30＋18＝12
　④f(－2)＝16＋24－28－30＋18＝ 0 ･･･ (x＋2)を因数に持つ

　f(－1)＝0，f(－2)＝0　から、
　　(x＋1)､(x＋2)を因数に持つことがわかる

　f(x)を(x＋1)(x＋2)＝x²＋3x＋2　で割ると商が(x²－6x＋9)
　　つまり、f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x²＋6x＋9)

　従って
　　 　x⁴－3x³－7x²＋15x＋18＝0
　　(x＋1)(x＋2)(x²－6x＋9)＝0
　　　　(x＋1)(x＋2)(x－3)²＝0　より
　　x＝－1，－2，3

mo1

訂正です

下から５行目です
誤：つまり、f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x²＋6x＋9)
正：つまり、f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x²－6x＋9)

カイ

詳しくありがとうございました!