Question

みみ

解説最後にあるピックの定理とは何のことでしょうか...？教えて頂きたいです。

は自然数とする。 3本の直線3x+2y=6n, x= 0, y=0で囲まれる三角形の周上および内部に
EX
⑤21
あり,x座標と y 座標がともに整数である点は全部でいくつあるか。
直線3x+2y=6n (nは自然数)
①
y
とx軸, y 軸の交点の座標は,それぞ
3n
れ (2,0), (0, 3n) である。
Il 3n-3i+
直線x=k (k=0, 1, ......, 2n) と,
32
2n),
3n-3i
座標平面において x 座
標,y座標がともに整数
である点を 格子点とい
う。
①の交点の座標は(k3n-12/21k)
[1]が偶数のとき
k=2i(i=0, 1, ………, n) とすると
021
2i-1
-12k=3n-22i=3n-3i (整数)
よって, 直線 x=2i上の格子点の個数は
(3n-3i)-0+1=3n-3i+1
2n
X
←交点のy座標 3n-3
が整数になるかならない
かで場合分けして考える。
2
(1)
←x軸上の点 (20) も
含まれることに注意。

[2]k が奇数のとき
K:2i+1(i=0.1.2.h-1)
章数
1章
EX
列]
k=2i−1 (i=1, 2,
3n-
n) とすると
3
1/21k=3n-21212 (2i-1)=3n-3i+ 2/2 (整数ではない)
よって, 直線x=2i-1上の格子点は (2i-10) (2i-1, 1), ←x軸上の点は含まれる
(2i-1, 3n-3i+1) で,その個数は
(3n-3i+1)-0+1=3n−3i+2
[1], [2] から, 求める格子点の総数は
n
i=0
Σ(3n-3i+1)+2(3n-3i+2)
=3n+1+2 (6η-6i+3)
1300
i=1
=3n+1+(6n+3)21-62
i=1
i=1
総合問題③
=3n+1+(6n+3)・n-6.11n(n+1)
=3n²+3n+1 (個)
別解 線分3x+2y=6n(0≦y≦3n) 上の格子点 (0, 3n),
(2n, 0) の個数は n+1
(2,3n-3),
が, 直線 ① と直線
x=2i-1の交点は含ま
れない。
←第1項の i=0 の場合
だけ別に計算。 また
ak- 26k
k=1
k=1
= (an+bn)
k=1
y
+3n
n+1(個)
4点(0,0),(2n, 0), (2n, 3), (0, 3n) を頂点とする長方
形の周上および内部にある格子点の個数は (2n+1)(3n+1)
よって, 求める格子点の個数は
..... 3
{(2n+1)(3n+1)+(n+1)}=3n²+3n+1(個)
OST
[参考] ピックの定理を利用すると, 次のようになる。
三角形
3本の直線3x+2y=6n, x = 0, y=0で囲まれる三角形をP
とすると,Pの頂点はいずれも格子点である。
Pの内部, 辺上にある格子点の個数をそれぞれ a, b とし,P
b
2n
x
2n-2
0 24....
←ピックの定理が適用で
きることを確認している
の面積をSとすると, ピックの定理から
S=a+ 1/10 -1
2
ここで
b=n+1+(2n-1)+(3n-1)+1=6n
S=1/21.2n3n=3m²
したがって, 求める格子点の総数は
a+b=S+12+1=3m²+3n+1(個)
←a=S-01/+1
OST

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

ピックの定理なんて初めて聞きました……
写真載せときます。