Question

あゐ

一番についてです。
解答最初の方に、自然数 M N を用いて、とありますが、なぜ 同じ文字を使ってはいけないのでしょうか？
文字の前に4 や 6がついている時点で、4の倍数や 6の倍数になることは確定ですし、 たとえ 同じ文字を使っても 条件からは外れなかったのでいいかな？と思ったんですが

基本 例題 108 倍数, 互いに素に関する証明
は自然数とする。 α+5は4の倍数であり, α+3は6の倍数であると
α+9 は 12 の倍数であることを証明せよ。
自然数αに対し,a と α+1は互いに素であることを証明せよ。
CHART & SOLUTION
p.426 427 基本事項 1.5
倍数である, 互いに素であることの証明
(1)mnを自然数としてa+5=4m,a+3=6n と表される。 そして、「αの倍数かつ
の倍数ならば,aとbの最小公倍数の倍数」であることを利用する。
また,αとőが互いに素のとき 「akが6の倍数ならば、はんの倍数」であることを
利用してもよい (別 参照)。
(2) 互いに素である
最大公約数が1
最大公約数をg とおいて,g=1であることを証明すればよい。
自然数 A, B について AB=1 ⇔ A=B1 を利用する。
解答
(1)a+5, a +3 は,自然数nを用いて
a+5=4m, a+3=6n
と表される。
a+9= (a+5)+4=4m+4=4(m+1)
①
②
よって、 ① よりα+9 は4の倍数であり,② よりα+9 は
5の倍数でもある。
したがって,a+9は46の最小公倍数12の倍数である。
a+9=(a+3)+6=6n+6=6(n+1)
割る約数が
・互いに忙しか
素数とバ
てい
別解 (1) ①,②から
4(m+1)=6(n+1)
すなわち
2m+1=3(n+1)
2と3はないに素である
からm+1は3の倍数
である。 よって
m+1=3k(kは自然数)
と表される。ゆえに
4

約数の倍数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ヒラリバタフライ男爵

簡単に まとめてみました。

「a + 5 が 4 の倍数であり……a + 9 は 12 の倍数である」
という主張は、a という文字を使っていますが
実際には、何かしらの具体的な自然数が入るわけです。

そう考えると、同じ文字を使って
　a + 5 = 4m
　a + 3 = 6m
とすると、まずいことが出てきます。

例えば、a = 3 のとき
　3 + 5 = 8　(8 は 4 の倍数)
　3 + 3 = 6　(6 は 6 の倍数)
なので成り立ちますが、
　3 + 5 = 8 = 4 × 2　(m = 2?)
　3 + 3 = 6 = 6 × 1　(m = 1?)
になるので、同じ文字で表せなくなってしまいます。

一方で、別の文字を使って
　a + 5 = 4m
　a + 3 = 6n
としておけば、m = 2, n = 1 で表せます。

問題によっては 1 つの文字で表せるケースもあると思いますが
今回の問題では表せないので
（または、表せるかどうかを解答 1 行めの時点で分からないので）
別の文字を使ったのだと思います。

あゐ

そういうことだったんですね！しっくり来ました！有難うございます！