Question

高2生

問題 次の数の下位5桁を求めよ｡ 101^100

模範解答 10001

画像は解説です｡解説(画像)を見ても､答えがなぜ10001になるのかがわからないので､教えていただきたいです｡

101100 = (1 + 100)100=(1+102) 100
= 1 + 100C × 102 + 100 C2 ×10^ + 10° × N
= 1 + 10000 + 495 × 10 + 10° × N (Nは自然数)
この計算結果の下位5桁は,第3項,第4項を除いても変わらない。
よって, 下位5桁は 10001

数学ⅱ 数ⅱ 式と計算

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

二項定理を用いて展開しています。
(1+10²)¹⁰⁰の展開は、
＝1+₁₀₀C₁×1⁹⁹×(10²)¹
　　+₁₀₀C₂×1⁹⁸×(10²)²
　　+₁₀₀C₃×1⁹⁷×(10²)³
　…
となっています。
下5桁だけ考えればいいので、×10⁶以上は下5ケタの数は0しかないので無視しています。
だから、上記式の2行目の
₁₀₀C₂×1⁹⁸×(10²)²
を計算すると、写真3行目の
4950×1⁹⁸×10⁴
＝495×10⁵
という式が出てくるのです。

いかがでしょうか。

高2生

なぜ､×10⁶以上は下5ケタの数が0しかないのですか?

高2生

また､画像3行目の式からどのようにして10001がでてきたのですか?

きらうる

＞なぜ､×10⁶以上は下5ケタの数が0しかないのですか?
10⁶＝1000000です。1000000にさらに整数倍しても、下5ケタは0しかなくないですか？

＞また､画像3行目の式からどのようにして10001がでてきたのですか?
＝1+10000+495×10⁵+10⁶×N
この式の495×10⁵と10⁶×Nは上記理由で、5桁までは0しかありません。だから、下5ケタにかかわる数は
1+10000＝10001しかないのです。

高2生

そうですね!ありがとうございます!