Question

みみさん。

増減表の➕➖ってどうやって考えるんですか？どなたか教えてください🙇‍♀️

eを自然対数の底とし, 対数は自然対数とする。
関数f(x) を,
f(x)
log(x+1)
x+1
とし, 曲線y=f(x) (x≧0) をCとする｡

〔解説〕
f(x) において,
1 (x+1)-log(x+1).1
(x+1)²
f'(x) = x+1
1-log(x+1)
(x+1)²
であり,f'(x)=0のとき,
1-log(x+1)=0
⇒log(x+1)=1
⇒x+1=e
..x=e-1
となる。 また、
ƒ”(x) = x+1(x+1)² - {1-log(x+1)}-2(x+1)
(x+1)*
-1-2{1-log(x+1)}
(x+1)³
2log(x+1)-3
(x+1)³
であり,f'(x)=0のとき,
2log(x+1)-3=0
3
⇒log(x+1) = ²/2
3
⇒x+1=e²
3
..x=
:. x = e²-1
となる。以上より, f(x) の増減表は以下のようになる。

X
f'(x)
f"(x)
f(x)
0
0
:
+
-
Ĉ
e-1
0
極大
⠀
-
e²-1
-
0
変曲点
:
+
6

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

冒昧

y=f'(x)の正負を調べれば良いので、私はグラフを書いています。(河合塾もこの方法を推奨しています。)
f'(x)の関数の形が良くわからない場合はf''(x)を求めてf'(x)の概形を考えてます。こうすると思考過程も答案に残せるので良いです。(答案にはy=fl(x)のグラフを軽く書いて正領域に+を負領域に-を書いておけば十分です。)
f'(x)=(e^x)*(sinx)などの関数は一見すると複雑そうに見えますが、e^xは全ての実数で正なので考えなくてよく、sinxのグラフのみ書いて正負を調べればよいです。

冒昧

f'(x)の符号変化の調べ方を載せておきます。
ぜひ、f''(x)についてはご自身で調べてみてください。
分からなければ返信してください。

冒昧

追記:y=1-log(x+1)のグラフは次のようなステップで考えます。
1:y=log(x+1)のグラフを考える。
これはy=log(x)をx軸方向に-1だけ平行移動したグラ フを表します。

2:y=log(x+1)をx軸に対して反転させて、y=-log(x+1)とする。
3:y=-log(x+1)をy軸方向に+1平行移動させて、y=1-log(x+1)とする。

みみさん。

丁寧にありがとうございます！一応f‘‘(x)のグラフ書いてみましたが合ってますかね、？(汚くてすみません)

みみさん。

(すみません間違えて解決済みにしてしまいました💦)

冒昧

気付いてなかったです
申し訳ないです。
グラフの平行移動も完璧そうですね！
グラフがさっとかける能力は本当に色んなところで活躍します。ぜひ、増減表以外でも有効活用してください

Answer 2

田中

グラフが複雑でめんどくさい場合、実際に数字を代入するといいですよ。例えば今回はf’(x)はx=e-1でのみゼロの値を取るので符号の変化は一回あるかないかですよね。となるとe-1の前後の数字を代入すれば良くて、x=0のときf’(0)=1だからx<e-1でf’(x)>0 x=2のとき1<log3よりf’(x)<0なのでf’(x)の符号はもう書けます。同様にf”(x)でも同じ考えをすれば符号の変化は容易に分かります！

田中

他の方がおっしゃる通りグラフが瞬時にかければそちらでいいですが、私が紹介したやり方はグラフが複雑かつ時間がないときのやり方です！参考にしてみてください

みみさん。

なるほど！追記ありがとうございます！logxのグラフ自体ど忘れしてしまった時とかに使ってみようと思います！