Question

Hiroo

この問題のp（x）＝（x−1）2乗（x +2）Q（x）+a(x−1)2乗 +4x−5の部分でなぜ余りは4x−5なのにaの後にx−1を入れているのですか？0でなくせばよいのではないですか？

135
■指針
等式P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+R(x) を作る。
(R(x) は ax2+bx+c と表される)
(x-1)(x+2)Q(x)は(x-1)2で割り切れるか
ら、 R(x) を(x-1)²で割ったときの余りは,
P(x) を(x-1)2で割ったときの余り(=4x-5)
と一致する。
よって
R(x)=ax2+bx+c
=a(x-1)2+4x-5
あとは,αの値を求める。
P(x) を (x-1)2(x+2) で割ったときの商をQ(x)
とする。
このときの余りは、 2次以下の多項式または0で
あるから, ax2+bx+c (a,b,c は定数) とおけ
る。
ACT
よって P(x)=(x-1)(x+2)Q(x) +ax2+bx+c
更に, P(x) を (x-1)2で割ると余りが 4x-5で
あるから
P(x)=(x-1)2(x+2)Q(x) +a(x-1)2+4x-5
と表される。
P(x) を x +2で割ると余りが-4 であるから
P(-2)=-4
また, ① から
よって
9a-13=-4
したがって 求める余りは
v 112
P(−2)=9a-13
・①
ゆえに
a=1

発展問題
□ 135 多項式 P(x) を (x-1)2 で割ると余りが 4x - 5, x+2 で割ると余りが-4
である。このとき, P(x) を (x-1)2(x+2) で割ったときの余りを求めよ
。