Question

ひきわり

(2)と(3)についてです。

(2)は2回微分を写真1枚目のように考えました。
しかし、写真3枚目の囲い部分の解答の考え方がよくわかりません。また、自分の回答では、なぜ間違いとなるのか教えていただきたいです。

(3)はグラフの概形を知るために写真2枚目のような表を書いて調べようとしましたが、yをtで微分したときのゼロとなるポイントを見つけることができず、表がかけませんでした。だから、解答のようなグラフにいきつけていません。どのようにすれば、解答のグラフが書けますか？

よろしくお願いします🙇

dy d d = (cost) = -Gint) = -tant (cost-tsint,
dard.
d. dt.
dt
(dy) d.
dx dr
dx du dt
1/1 12² 1²(x0) = -1 / 1²2-4) --- (1 -#)
Tu
のとき
=
1 関数 y=f(x)のグラフCが
(x,y) = (sint, tcost),
T
2
と表されるとする。t=4のときのC上の点をP(xo,yo) とおく。次の問いに答え
よ。
(1) f'(x) を計算し, 点PにおけるCの接線の方程式を求めよ。
(2) f'(x) を計算せよ。
(3) 曲線Cとx軸とが囲む部分の面積を求めよ。
〈電気通信大学〉

42
五
per
du dy
t.dt
(x, y)
e
+
+
+
HNO
te

(2)
dx--3a cos² tsin t,
dt
dx 2
- 2nab (v1-e²+ = sin ¹e) (e
e=
[x=acos³t
より,
::
=12ma2
1
=12m²
dy
dx
dt
よって、求める表面積は,
S=227-a sin³t 3a sin t cos tdt
²f² sit
sint cos tdt
(2)
にこのとき,
y
d
dt
+
COS
12
5
5
第4章 章末問題 解答
-sin5t
dy
dt
dy
dx
44 sin
4 4
d'y
dx²
COS
また, P(xo,yo)=
線は,
TC
4
dy
dy dt cost-tsin t
dx dx
cos t
dt
=
dy
dt
TC
=1-4: :: f'(x)=1--
= 3a sin²t cost
4
d dy
dt dx
√9a² sin² t cos² t
d
dt
= 3a sint cos t
-x
1
:. y=(1-4) x + 2√2-√²
-ла²
√a²-6²
a
1
√2
4√2-(1-7)(x-√2)
T
=(√₂2² · 4√² より、接
d cost-tsin t
dt
cos t
d
dt
1
4√2
(1-ttant)
T
1
T
4
(= -(tar
d'y
dx²
t=4のとき,
=
s=f'ydx
S=
tant+t
tant+t
TC
2 4
d'y
dx²
cos t
St cost-cos tdt
:: ƒ"(x) = -√√2-
2
(3) 曲線の概形は図のようになり, 求め
る面積は,
1
cos² t
1
√2
= -√2-√/2
t² 1
2 4
1
cos² t
f'(x)= ez sin
-~- (1 + ²/²)
2
1x √√3
2
= f*tcos'tdt
=f7,1+ cos2t.dt
= 1/²*(1 + cos2t) dt
-sin 2t
2
-{[(r+ anz1)]*
- S² ( 1+ / -sin21)dt}
T
t=0
cos 2t
O
]}
2012/1+1/(-1-1)} - 11/
=
4 8 4
16 4
[2] (1) f(x)=etsin 2x
= etsin (√3x + ²)
2
3
C
-et-2sin (√x+5)
2
-x+ež..
-120- (sin 3x+√3 cos √3x)
2
2
t=
√√3 √√3
2
f"(x)=1/et-sin (√3x + 4)
2
1
COS
217
-x
2
IT
2
x

数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Scarlet

xがどのように変化するか？　yがどのように変化するか？
そのような動きをxy平面に落とし込みたいのでxとyの変化をtについて考えます。
cost＝tsintとなるようなtの値はおそらく三角関数の逆関数や微分方程式を使わないと具体的に分からないので仮にその時のtをTとでもしておきます。概形なのでTの時の値がきっちり分からなくても増減さえ分かればOKだと思います。(これはよく使う定石)

ひきわり

(3)については理解できました。ありがとうございます！
しかし、(2)についてです。
添付した写真の黄色枠の部分の意味を教えていただけませんか？
よろしくお願いします🙇

Scarlet

tについてxの追跡をする、ということを強調しただけのdx/dtです。

dy/dxのさらにdx追跡、なので
tを交えますがd^y/dx^2＝d・dy/dx・dxを作りたいわけですね。

ひきわり

了解です🫡
ありがとうございます。

Answer 2

Scarlet

赤丸部分については、例として
dtが微小変化量でdt＝0.001であるとします。
そうすると0.001tが進む間にxはすこーしだけ(dx)進み
yもすこーしだけ(dy)進みます。
だからx,yの進み具合は対応してるわけですね。
これを応用するとdy/dtのような分数(ライプニッツ記号)は｢分数のように振る舞える(実際は分数とは言えないが)｣　と言えるので
dy/dxを作るためにdtを経由して約分しています。

Answer 3

Scarlet

２階微分の意味としては｢1階微分のグラフの変化をさらにxについて追う｣ことなので
dy/dxをもう一度xについて追う、と考えます。
つまりd/dx・(dy/dx)＝d^2y/dx^2が欲しいわけですね。
それを回答ではdtを経由して作っています。

今回、解説にある分子のd/dtとは関数全体のdeltaをdeltaxで追跡するということなので　関数全体(dy/dx)の変量をdxについて調べたい。だからdy/dxの値(tの関数)を微分しています。

質問者さんの回答だとd(関数全体)をdxで追うのではなく dx自体をdtで追っていることになってしまいます。