Question

ひきわり

積分計算の途中を抜粋したものです。
計算をどこかで間違えているようなのですが、どこが間違っているのかがわかりません。ご指摘お願いします🙇
ちなみに答えは写真二枚目です。
よろしくお願いします🙇

= 4TA [Six ()]=4xafrsin"¹ I - rain" (-117-ana (Ir-ar) – mar
sin

S=J_27 (a + √₂
1
r
-4. S. ²-3 dx = 4² ²₁ √ ₁ - (+)
= 4T
=
a f
dx=4ла
a
2
√r²_x²
2
1
= 4π²ar
-X²
・〔答〕
2
√r²-x²
[rsi #I
¹
r
dx=4лarsin

数学 積分

Answer 1

BaSO4

間違ってるところはないように思えますが、
θの範囲に指定があるとかではないでしょうか
sin^-1(1)は1つに絞れません。π/2,5π/2,...だったりと続くので5π/2とするなら
5π/2-3π/2=πとなり正になるのでその辺の範囲が決まってるのかなと思います。

ひきわり

θではなくrには指定があるのですが...

Take

ひきわり様
逆三角関数 y=sin⁻¹ x について
　定義域 -1≦x≦1
　値　域 -π/2≦x≦π/2
です。したがって、
　sin⁻¹(1)-sin⁻¹(-1)=π/2-(-π/2)=π
です。

ひきわり

なるほど！
この値域は覚えておけばいいのでしょうか？

Take

ひきわり様
さきほどの回答で、値域なのにうっかり x としていました。正しくは次のとおりです。
① y=sin⁻¹ x について
　定義域 -1≦x≦1
　値　域 -π/2≦y≦π/2　←x ではなく y です
② y=cos⁻¹ x について
　定義域 -1≦x≦1
　値　域 0≦y≦π
③ y=tan⁻¹ x について
　定義域 -∞<x<∞
　値　域 -π/2<y<π/2
です。
①～③はグラフの概形とともに暗記しておくとよいです！

ひきわり

了解です！ありがとうございます！