Question

ああ

この問題の計算過程が分かりません。
教えて頂きたいです。

90
1
- XP (+P ("J), S), J
zp
(3-

重積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

ああ様
内側のかっこの中から順に計算します。まず、
∫(0～(1-√x-√y)²) dz=［z］(z=0～(1-√x-√y)²)=(1-√x-√y)²
です。よって、
∫(0～(1-√x)²) (∫(0～(1-√x-√y)²) dz) dy
=∫(0～(1-√x)²) (1-√x-√y)² dy
=∫(0～(1-√x)²) ｛(1-√x)-√y｝² dy
=∫(0～(1-√x)²) ｛(1-√x)²-2(1-√x)√y+y｝dy　←展開しました
=［(1-√x)²y-2(1-√x)・(2/3)y^(3/2)+(y²/2)］(y=0～(1-√x)²)
=(1/6) (1-√x)⁴
ゆえに、
(与式)
=(1/6) ∫(0～1) (1-√x)⁴ dx
ここで 1-√x=t とおくと x=(1-t)²　∴dx=-2(1-t)dt
また、x:0～1 のとき、t:1～0 であるから
(与式)
=(1/3) ∫(0～1) t⁴(1-t) dt
=1/90　■
となります。

ああ

ありがとうございます!