Question

みみ

数3積分の問題なのですが、[1]でlog（t+1）-logX≧0なので単調増加だと思ったのですがこのような考え方ができないのはなぜですか...？

10g
●自x>0 のとき関数f(x) = Solog (+1dt の最小値を求めよ。
227
f(x)=Sallog(t+1)-10gx|dt
HINT ||内の式 = 0
となる値が積分区間
log(t+1)-10gx=0 とすると t+1= x すなわち t=x-1 0≦t≦1に含まれるかど
積分区間は 0≦t≦1であるから, x-1≦0,0<x-1<1,
うかがポイント
1≦x-1の場合に分けて考える。
[1] x-1≧0 すなわち0<x≦1のとき log(t+1)-10gx≧0
TX
ia)'s)
よって
f(x)=S(log(t+1)-logx}dt
=Solog(t+1)dt (logx)Sdt7204feat=14-1
s
〔東京学芸大
土の境目
← 0≦t≦1であるから
1≦t+1≦2
ゆえに t+1≧x

1
=[(t+1)log(t+1)-t-logx
=210g2-1-logx
f(x)=1/12 <0であるから、f(x) は単調に減少する。
-
[2] 0<x-1 <1 すなわち1<x<2のとき
t+1≦x すなわち t≦x-1のとき log(t+1) -logx≦0
+1≧x すなわち x-1のとき log(t+1)-10gx≧0であるから
ん
f(x)=-(*^ (10g(t+1)-logx}dt+$_,{log(t+1)-10gx}dt
(¹)
Cx-1
=2x-310gx+2log2-3
3_2x-3
0
=-S
= S. 'log(t+1)dt+S"_,log(t+1)dt+(10gx) (Sat-Sat)
20
=-{(t+1)log(t+1)-1]+[(t+1)log(t+1)-4_
==
(as+n)
3
f'(x)=0 とするとx=
2
f'(x)=2--
XC
x
1<x<2におけるf(x) の増減表は右のようにな
る。
[3] 1≦x-1 すなわち xのとき
よってf(x)=-Solog(t+1)-logx}dt
=logx+1-210g2
x
f'(x)
f(x)
log(t+1)-logx≤0
+(logx){(x-1)-(2-x)}
(S+
数学III 299
f'(x)=-1>0であるから, f(x) は単調に増加する。
x
YI
←f(x) = (定数) -logx
であることからも単調に
減少することはわかる。
1
32
27
[1]~[3] により、f(x)はx=12/23 のとき最小値10g 22 をとる。
ess
-
|3|20
32
27
log-
...
+
2
← 1≦t +1≦2であるか
らt+1≦x
← [1] f(x)×(-1)
1-0
7章
練習
皆[漬分法」

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

でど

積分の中身が正だからといって必ずしも単調増加になるとは限りません。
微分してこそ増減はわかります