Question

もちみこ

この問題の⑵なんですが、
三枚目のm>4あたりの場合分けで、
場合分けⅠは②の点が3より上にあることが
条件なのに、なぜ場合分けⅡでは②上の点が③より下、または③の上にあるのが条件なんですか？
（Ⅰは5,24という上の点を基準にしているのに
Ⅱで下の3,8を基準にしている理由がわからない
ということです。）

102 2次方程式・2次不等式の整数解
整数mに対し, f(x)=x-mx+"-1 とおく。
(1) 方程式f(z)=0 が,整数の解を少なくとも1つもつようなの値を求め
よ。
(2) 不等式 f(x) ≧0 を満たす整数xが,ちょうど4個あるようなmの値を求
めよ。
(秋田大)
f(x) の式にはmの1次の項しか含まれていないことに着目する
と, f(x)=0, f(x) ≧0 は “パラメタの分離” によって, 放物線
精講
y=-1と直線y=m(x-121) の関係に帰着されます。
解答
また,整数問題とみなすと, (1)では解と係数の関係を利用して2つの整数解
の満たすべき関係式が導かれます。 (2)では, 不等式 f(x) ≧0 を満たす整数が
ちょうど4個であるとき, 不等式の解の区間幅からmを絞りこむ方法もありま
す。
(1) 2次方程式 f(x)=0, つまり
x2-mx+ -1=0
m
x2-1=mx
²-1= m(x-1)
......1
の実数解は放物線y=x2-1
･②と直線
y=m(x-1) •••••• ③ の共有点のx座標に等し
第1章
① において, (2解の和)=mが整数であるから,
解の1つが整数のとき、 他の解も整数である。した
がって“②③ 2つの共有点をもち,それらの
座標が整数である”..… (*) ようなmの値を求め
るとよい。

③は点 A ( 14.0) を通り,傾きがmの直線であ
るから、右図より ② ③の2つの共有点は
(i) m>0 のときには
() <0のときには x<-1, 2/12 <x<1
-1<x< 1, 1<x
()=0のときにはx=-1, 1
にある。 これより,
(i)のとき, -1<x<1/1
共有点は (0,-1) であるから, m=4であり,① の
2解が 0, 4となるので, (*) を満たす。
(i)のとき, 1<x<1には整数はないので,(*)
4
(2) f(x) ≧0, つまり,
にある整数はx=0 で,
を満たさない。
()のときは, (*)を満たす。
以上から,m=0, 4 である。
x²-15m (x-1)
を満たすxは,放物線 ② の直線 ③より下方(端点を
含む) にある部分Cにある点のx座標に等しい。 し
たがって, “C上に座標が整数である点がちょう
ど4個ある”….. (☆) ようなmの値を求めるとよ
い。
ここで (1)より④を満たす整数xはm=0のと
きはx=-1, 0, 1で,m=4のときは, x=0, 1,
2, 3, 4でいずれも(☆)を満たさない。
したがって, グラフより ( ) が成り立つときの
4個の点のx座標は
(I) >4 のとき
x=1, 2,3,4
(ⅡI)0<m<4のとき
x=0, 1,2,3
(ⅢI) <0のとき
x=0, -1,-2, -3
に限られることがわかる。 これより,mの満たすべ
O
-1
A
-1
1
2
3 (m<0
YA
③3③
(m>0
のとき)
O
のとき)
1 x
C
Cの両端の点のx座
まず,
標が整数となる場合(つま
り (1) の場合) を調べてい
る。
き条件は
(I) m>4
にあるこ
2
であり,
(II) 0<m
方,ま
であり
る。
() m
下方
③ よ
でる
(I),
であ
別
(1)

き条件は
(I)
>4 のとき, ② 上の点 (5,24) が③より上方 (I)4
にあること,つまり,
24>m(5-1)
であり,これを満たす整数mはm=5である。
(II)0<m<4のとき, ② 上の点 (3, 8) が③より下
方、 または③上にあること, つまり、
1) (a
4<m< 96
19
32
8≦m(3-121)
11
≦m<4
であり,これを満たす整数mはm=3であ
る。
である。
(II) <0 のとき, ② 上の点(-3, 8) は③より
下方, または ③ 上にあって, 点(4,15) は
③ より上方にあること, つまり,
3≦m(-3-141) かつ 15>m(-4-1/4)
(ⅡI)
32
13
YA
60
·<m≤-
17
であり,これを満たす整数mはm=-3であ(-4,15)
る。
(I), (ⅡI), (Ⅲ)より求めるmの値は
m=5.3. -3
(-3,8)
(4,15)、
18 (1
ES- E-
(5,24)。
y=4(x-1)
(4,15)
(III) 8 45
YA
Ic
3
(3,8)
(3)
x
第1章
DC

二次関数