数学
大学生・専門学校生・社会人

大学 幾何学
専門の方からすると基本問題と伺ったのですが、私が文系大学生ということもあり、何も解答を出せません。
解答を出していただけますと幸いです。
3題のうち1題だけでもとても嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

1. S2 = {(x,y,z) ∈ R3 | x2 + 42 + 22 = 1} を単位球面とし, R3 のry平面を自然に R2 と同一 視する: {(x, y,0) | (x, y) = R²} ↔ R², (x, y,0) ↔ (x, y). “北極” (0,0,1) 以外の各点 p∈ S2 に対し, p と (0,0,1) を結ぶ直線と xy平面との交点を n(p) とすることで 写像 ゆN: S2\{(0,0,1)} → R2 が定まる. これを北極からの立体射影とよぶ.同様に,p∈ S2\{(0,0,-1)} と “南極” (0,0,-1) を結ぶ直線を考えることで, 南極からの立体射影 $s: S2 \{(0,0,-1)} → R? ができる.これらにより与えられる球面の二つの“地図”(局所座標)の間の変換 son²を 考えよう.この座標変換の定義域 (すなわち ♀N の行き先の R2 の中の適当な開集合) 上の 座標軸に平行な直線たち Lk={(x,k)|n∈R}, L'k={(k,y)|y∈R}(k= -2,-1,0,1,2) (下の図を参照) を pson でうつしてできる曲線の絵を描け. L2 L1 Lo L_1 L-2 I'_2I'_L' LL'2 son の式を計算して求めても、 作図によって求めても良い. 答えだけではなく, 理由も (読み手が理解できるように) 説明すること.
2. 球面三角形の内角の和は 180°x 1+ 4(球面三角形の面積) (球の面積) となることを示せ . ヒント. 例えば、下の図の角度はどの部分の面積と関係しているかを考える. 3. 単位円板 D = {(x,y) ∈R2|x2+y^ < 1} に Poincaré 計量 4 (1 − x² − y2)2 (dx² + dy²) を入れたものを Poincaré 円板とよぶ.0 <p < 1 を満たす実数 p をとり, Cp = {(x,y) ∈ D\x2+y^²=p2}={(pcos 0, psin 0) | 0≤0 <2カ} +ỷ g= とおく. (1) 原点 (00) と C, 上の点 (pcos0, psin0) を結ぶ線分(t)=(tcos0,tsin0) (0 ≤t ≤p) の (Poincaré 計量に関する) 長さ R を求めよ. (2) 上の ~(t) は原点と(pcos 0, psin0) を結ぶ最短線である.すなわち, (1) で求めた ^(t) の長さはこの2点間の距離である (この事実は認めて良い) 従って (1) の結果から, C は原点からの距離が一定の値 R の点全体の集合, つまり Poincaré 円板内の半径 R の 円となる. この円周の長さを R を用いて表せ.
幾何学 内角の和

回答

数学を取ってしまった経済学部生さま

解答してみました。
基本問題かもしれませんが、かなり大変でした。
参考になれば幸いです。

球面幾何 双曲幾何
この回答にコメントする
疑問は解決しましたか?

この質問を見ている人は
こちらの質問も見ています😉