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直線OA、直線EG、直線CFの交点をPとすると、
五面体AGF-OECは、三角錐P-OECから三角錐P-AGFを除いた立体になります。
体積は三角錐の切断したときの体積比で求められます。
この問題だと、
三角錐P-AGF=三角錐P-OEC×PA/PO×PG/PE×PF/PC
となります。
側面にある△POCは
∠POF=30°、∠FOC=60°となることから、
∠PCO=60°、∠CPO=30°となります。
また、△OCFは正三角形です。
よって、OC=CF=OA=PF=rとなり、PO=√3rとなります。
したがって、
PA/PO=(√3-1)/√3=(3-√3)/3、PF/PC=1/2となります。
△POC≡△POEよりPG/PE=1/2です。
三角錐P-AGF
=三角錐P-OEC×(3-√3)/3×1/2×1/2=(3-√3)/12
となるから、
五面体AGF-OECの体積は、
三角錐P-OEC×{12-(3-√3)}/12
=三角錐P-OEC×(9+√3)/12
となります。
底面△OECは∠COE=30°の二等辺三角形なので、
EからOCへ垂線EHを引くと、
△OEHが30°、60°、90°になることから、
EH=r/2となります。
よって、△OEC=r×r/2×1/2=r^2/4
以上より
五面体AGF-OEC
=r^2/4×√3r×1/3×(9+√3)/12
=(1+3√3)r^3/48
と求められます。
とりあえず、図を再現するところから始めて、
分からないところは質問してくださいね。
側面にあるおうぎ形OCAにおいて、弧AF:弧FC=1:2となるから
それぞれの中心角である∠AOF:∠FOC=1:2より
∠POF=30°、∠FOC=60°となります。
この問題は本当に難しいので、少しずつ解明していきましょう。
・∠PCO=60°、∠CPO=30°
・PF=r
・△POC≡△POE
の部分は何故そうなるのでしょうか？
特に、合同についてですが、∠POC=90°、∠POE=120° になると思ってしまいます。
・∠PCO=60°、∠CPO=30°
先ほどの∠FOC=60°から△FOCが正三角形になると分かります。
・PF=r
∠FOP=∠FPO=30°より△FOPは二等辺三角形です。
・△POC≡△POE
∠POE=120°だとEは弧BC上にないことになります。
弧BC上にいる時点で∠POE=90°は確定です。
(OA⊥おうぎ形OBCとなるから)
PO=PO、OC=OE、∠POC=∠POEより合同です。
良かったです。
どういたしまして。
回答ありがとうございます 🙏🏻
図は再現できたのですが、「側面にある△POCで、∠POF=30°、∠FOC=60°になる」というのが何故そう分かるのか教えてほしいです …！序盤からの質問ですみません 🌀