数学
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解決済み

ゼータ級数の写真の部分で、pが1以下なら発散、1より大きければ収束することのわかりやすい証明を教えて欲しいです。
もしくは、具体的な数字で示して欲しいです。
今の私はpが1より大きくても、ゼロでない数を足し続けるのなら、収束することはないと思っています。

よろしくお願いします🙇

1 1 1 + + n=1 np 1P 2D 3P 8 1 = ゼータ級数 (i) p> 1 ならば収束する。 (ii) p1 ならば発散する。 特に, p=1のときは調和級数と呼ばれ, これは発散する級数である。 ∞1 ·+···+· 1 1 1 1 調和級数 : Σ-=1+ + + + ・+・ n=1n 2 3 n ND +... (p>0) について,
数学 編入数学徹底研究

回答

✨ ベストアンサー ✨

ひきわり様
(ⅰ) p≦1 のとき
 n^p≦n^1より1/(n^p)≧1/n ←逆数をとると大小関係は反転する
  ∴Σ(n=1~∞)1/(n^p)≧Σ(n=1~∞)1/n
 右辺は調和級数であるから+∞に発散する。追い出しの原理より
  Σ(n=1~∞)1/(n^p)=+∞ ■
(ⅱ) p>1 のとき
 関数 y=1/(x^p) のグラフを考える。区間[n-1,n]の部分の面積に着目すると
 1/(n^p)<∫(n-1~n){1/(x^p)}dx ←(縦1/(n^p),横1の長方形の面積)<(∫(n-1~n){1/(x^p)}dx)であるから
 ∴Σ(n=1~m)1/(n^p)
  ≦Σ(n=1~m)∫(n-1~n){1/(x^p)}dx
  =∫(1~m){1/(x^p)}dx
=∫(1~∞){1/(x^p)}dx
  =1/(p-1)
 よって、ゼータ級数の部分和を Sm=Σ(n=1~m)1/(n^p) とするとき、
 数列{Sm}は上に有界で、かつ、明らかに単調増加列であるから、数列{Sm}は収束する。 ■
【コメント】
[例1]p=1/2 のときのゼータ級数は Σ(n=1~∞)1/√n=+∞
[例2]p=2 のときのゼータ級数は Σ(n=1~∞)1/n²=π²/6 ←バーゼルの問題です
[例3]ゼロでない数を足し続けるても収束する例として
    Σ(n=1~∞)1/(2^n)=(初項1/2,公比1/2の無限等比級数)=1
です。

Take

失礼しました。
(ⅱ) p>1 のとき を次のように訂正します。
 関数 y=1/(x^p) のグラフを考える。区間[n-1,n]の部分の面積に着目すると
 1/(n^p)<∫(n-1~n){1/(x^p)}dx ←(縦1/(n^p),横1の長方形の面積)<(∫(n-1~n){1/(x^p)}dx)であるから
 ∴Σ(n=2~m)1/(n^p) ←n=1~mではなく、n=2~mに訂正!
  ≦Σ(n=2~m)∫(n-1~n){1/(x^p)}dx
  =∫(1~m){1/(x^p)}dx
=∫(1~∞){1/(x^p)}dx
=1/(p-1)
 よって、ゼータ級数の部分和を Sm=Σ(n=1~m)1/(n^p) とするとき、
 数列{Sm}は上に有界で、かつ、明らかに単調増加列であるから、数列{Sm}は収束する。 ■

ひきわり

(ⅰ)はよく理解できました。
(ⅱ)についてですが、Σからの部分を文字にすると写真のようになると思います。写真に示した①②がよくわかりません。
よろしくお願いします🙇

Take

ひきわり様
(ⅱ)について、Σは「n=2~m」としてください。(ゼータ級数は m→∞ なので、m≧2 としてもよい)

Σ(n=2~m)1/(n^p)
≦Σ(n=2~m)∫(n-1~n){1/(x^p)}dx
=∫(1~m){1/(x^p)}dx
≦∫(1~∞){1/(x^p)}dx ←ご指摘のとおり、=ではなく、≦に訂正します
=1/(p-1)

よって、ゼータ級数の部分和を Sm=Σ(n=1~m)1/(n^p) とするとき、
数列{Sm}は上に有界で、←Sm=1+Σ(n=2~m)1/(n^p)≦1+{1/(p-1)}であるから上に有界
かつ、明らかに単調増加列であるから、数列{Sm}は収束する。 ■

これで説明になりましたでしょうか?
それでは良い年末年始をお過ごしください!

ひきわり

ありがとうございます😭

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