参考・概略です
●EF=x,BE=p とすると(x>0、p>0)
∠B=2∠Cから、△DBC=二等辺三角形となり
Fが頂点Dから下した垂線なので
CF=BF=x+p ・・・・・・・・・・・・ ①
BC=CF+BF=2(x+p) ・・・ ②
●三角形の内角の2等分線の性質と②より
AD:CD=BA:BC
=10:2(x+p)
=5:(x+p) ・・・・・・・・・ ③
●平行線の性質と①より
AD:CD=EF:CF
=x:(x+p) ・・・・・・・・・ ④
●③,④ より、(x>0、p>0)なので
5:(x+p)=x:(x+p)
x=5