Question

すずお

どうして(n+9)(n+10)が(n+1)倍になるとき、(n+1)は(n+9)と(n+10)どちらとも互いに素でないといけないんですか？

(2) 花子と太郎さんは、次の問題2について考えている。
問題2 n を正の整数とする。(n+9) (n+10) がn+1の倍数となるよう
なnの値の個数を求めよ。
APARATE
問題2について、二人はそれぞれ次のような構想を立てた。
太郎さんの構想
(I) n +9がn+1の倍数となるとき
Links Co
n+9= (n+1) + 8
より,n+1は8のイである。
(II) n + 10 がn+1の倍数となるとき
n + 10 = (n+1)+ 9
より, n +1は9の イである。
以上より, n の値の個数を求める。
・花子さんの構想
[2]とである。
resáčs, n+2 0 18 0
(n+9)(n+10) = n² + 19n + 90
より, n +1は72のイ である。
以上より, n の値の個数を求める。
= n(n+1) + 18(n+1) +72
=
= (n+18) (n+1) + 72
0
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)

花子:太郎さんの構想で考えたときの答えと違うね。
太郎:二人の構想のうち,どちらかは正しくないということだね。
違う答えが出てしまった理由は, n+1がキである。
89
キについては,最も適当なものを、次の⑩~⑤のうちから一つ選べ。
⑩
8の約数であり,かつ9の約数でもあるようなnの値はないから
①
8の倍数であり,かつ9の倍数でもあるようなnの値があるから
②n+9,n+10 のどちらとも互いに素であるようなnの値はないから
(3)
(4)
n + 9, n + 10 のどちらとも互いに素であるようなnの値があるから
n+9 +10 のどちらとも互いに素でないようなnの値はないから
n + 9, n + 10 のどちらとも互いに素でないようなnの値があるから
⑤
nを正の整数とするとき, (n+9) (n+10) がn+1の倍数となるようなnの値
はクケ個ある。このクケ個のnのうち、最大のものはn=コサである。

D
n
(2) は正の整数であるから, n +1≧2である。
太郎さんの構想の(I)について 8の約数は 1,2,
4,8であるから
より
n+1=2,4,8
n=1,3,7
また, (II)について 9 の約数は 1 3 9 であるから
n+1 = 3, 9
より
n = 2,8
(I)(II) より
n = 1, 2, 3, 7, 8
よって,太郎さんの構想でのnの値は5個である。
次に、花子さんの構想について, 72 の約数は 1,
23468, 9, 12, 18, 24 36, 72 であるから
n+1=2,3,4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36,72
n = 1, 2, 3, 5, 7, 8, 11, 17, 23, 35, 71
よって, 花子さんの構想でのnの値の個数は 11 個
である。
ここで、太郎さんの構想では, n + 1 が n + 9,
n+10 のどちらかと互いに素である場合のみを考え
ているが, 例えば, n=5のとき
n+1=6, n+9=14, n+10= 15
のように,n+1はn +9, n + 10 のどちらとも互
いに素ではない。
すなわち, 太郎さんの構想と花子さんの構想で求
められる答えが違うのは, n+1 が n +9, n + 10
のどちらとも互いに素でないようなnの値がある
からである。
つまり、花子さんの構想で考えた答えが正しく, n
を正の整数とするとき (n+9) (n+10) n +1
の倍数となるようなnの値の個数は11個であり、
最大のものはn=71 である。
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数学 数a 整数の性質