Question

ポポ

最初の証明問題が上手くいきません。
どうやっても常に正になるのですが、どうすれば良いでしょうか？教えて下さい！

2
nを自然数とし, f(x)=cosx-3nsinx +2 とする.
(1) 各nに対して,
f(x)=0, 0<x<
を満たす実数xがただ1つ存在することを示せ.
(2)(1)の条件を満たすxをxとするとき, limx=0であることを示せ
n→∞
(3) (2) の x に対し, 極限値 limnxm² を求めよ.
n→∞
π
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

f(0)=3>0かつf(π/2)=-3n+2<0より、中間値の定理より、開区間(0,π/2)にf(x)=0を満たすxが存在する。

中間値の定理の利用ですね。

ポポ

回答ありがとうございます。
中間値の定理の存在をすっかり忘れていました、復習したいと思います。

追加で質問なのですが、今回の場合、f(0)とf(π/2)において、f(x)が単調減少するというの示す方針でやるのはダメでしょうか？

こんな風に解いていこうと思ったのですが、sinxcosxが正になってしまったので…

希

いや、単調減少と中間値の定理を利用しないと証明できません。私の先ほどの回答では、0<x<π/2でf(x)=0となるxの存在性を示しただけです。中間値の定理だけでは少なくとも1つ存在することがいえただけで、ただ１つ存在することは言えません。なのて、単調減少を利用して、ただ１つであることを証明します。

ポポ

回答ありがとうございます。

f‘(x)の単調減少の証明の仕方がやっと思いついたので、解けそうです！

詳しい解説、ありがとうございました！