Question

ぴひょ

記述の添削と、（2）(ⅱ)のどこが間違っていたのかを教えて欲しいです。

6 「次の各問に答えよ。 (解答用紙に答えに至るまでの考え方、図式、計算を丁寧に記述せよ。) 35点
を負の定数とする。 曲線 C:y=x-x を考える｡
接点
In #82-
(1) 点P(1, p) から曲線Cに何本の接線が引けるかを調べよ。
(2) P(1, p)から曲線Cにちょうど2本の接線が引けるとき、 次の問いに答えよ。
(i) 2本の接線の方程式を求めよ。
の数
(ii) (i)で求めた接線と曲線Cの接点をQ, R とする。 ただし, Qのx座標は R のx座標より小さいとする。
線分PQ,線分 PR, 曲線 C で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 ①4 から
を引くとらく、

(1) 接点の座標を(t, t-t) とする。
よって,接線の方程式は y-(t-t)=(3t2−1)(x-t)
接線が点Pを通るとき p=(3t2-1).1-2t3
3次関数のグラフでは、 接点が異なれば接線も異なる。
ゆえに, Pを通るCの接線の本数は,t の方程式 ② の異なる実数解の個数に一致する。
t=0のとき, ① から
3
t=12/2のとき、①から
また、この方程式の実数解の個数は, 3次関数y=-2t3+3t2-1 のグラフと直線y=pの共有点の個数に一致する。
f(t) = -2t3+ 3t2−1 とおくと f'(t) = -6t2+6t = -6t(t-1)
1
f(t) の増減表は右のようになる。
+ 20
よって, y=f(t) のグラフは右の図のようになる。
p<0であるから
ゆく-1のとき
1本
p=-1のとき
2本
-1 <p<0のとき 3本
(2) (1) より, 点Pから曲線Cにちょうど2本の接線が引けるときp=-1
3
(i ②から -1=-2t3+3t2-1 これを解くと t=0,
(ii)(i) より,接点のx座標は0,
3 15
それぞれ (0, 0), 2' 8
直線 QR の方程式は
y=-x
23
X-
y= 4
よって
y=x3-xより y'=3x2-1
求める面積Sは右の図の斜線部分の面積である。
15
8
3
2
58
y=
27
4
-X
3
であるから, Q, R の座標は
すなわち
5
S= △PQR- -Sof=₁
{ x = (x³ - x) dx
すなわち
すなわち p = -23+3t2-1
27 1
9
27
= 2 + + ×- -·|* = 3
16 4
64
y=(3t2-1)x-2t3 11
5
y=+*
= 12 | 1-15 - (-1) · ³2 | + ²(x ² - 2 x)dx
1.
--(-1)・
t
f' (t)
f(t)
-
15
8
0
0
極小
-1
-1
-1
y
1
極大
0
1
R
|3|2
I
x
18

(= y. f(₂)=x²-7
Fixo = 3x²-1
(1) 接点を(大,スアート)とすると、
この点におけるcm接線の方程
iz y - (2³-1)-(3x²-1)(x-1)
y = (3x²-1)x - 3x³ + t + x ³ _t
J= (3x²-1)2 - 2x²
これが (1,P)を通るので
*** O
p=243+3x2-1
この方程式の実数解は
10
t
=0とすると
大=0.1
従ってgoにおける増減表は
Ich
WEE
0
8 +
f.
D
0
23,
p=-1の時
実数解はエコ
PC-1の時
実数解は1つ。
の実数解の個数は接線の
数と一致するので、同様に接線の数
-ICPCOの時3つ
y = p r y = -2*³- 3+² -1
の共有点の座標と一致する。
またf(x)は三次方程式より
1つの接点につき1つの接線が (2)(1)PからCに2本の接線が引け
存在する。 y=g(大)=-2+3+34-1
るときである。②に代入すると
rcz, g) = -6*² + 6 t = -²6 + ( + − 1)
これぞれについて解にと
これらものに代入して
23
y=¥2
peoより、
-lepe o a
実数解は
$=-1² 22
DC-1の時1つ
-1 = -2 +² +3 +² -1
3
t F 0.
2
求める接線はy=ープ
42 -
(2) (ii) Q10.0)、R13・砦),P(1.-1)
れる
+ S! (2²-x + 2²
+54.
+x) dx
2x4-27x²+54x
54x] ²
- 1 } ( ² ( ² - ( ) - 27 - ( 2 - 4)
}
い
4
du
135
= 1 + (4 - #2 +27) + = 1
64
41分

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

記述は問題ないです。
(2)の(ii)では計算ミスをしています。
最後の1行に計算ミスがあります。
最後から2行目の|1/8(65/8-135/4+27)+1/4|
は合っていますが、この計算をすると、27/64になります。もう一度この分数の計算をやってみてください。

ぴひょ

ありがとうございます！計算が合いました。🙏