重要 例題7 整数の問題への二項定理の利用
重要 6
kを自然数とする。 2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは
2であることを示せ。
指針 2=7l+4 (は自然数) とおいてもうまくいかない。 ここでは,
たが 3g, 3g+1, 3g +2
3で割った余りが 0, 1,2
(gはkを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し, k=3g+2の場
合だけ2を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
例えば,k=3gのときは、2=239=8°であり, 8°= (7+1)" として二項定理 を利用す
ると2を7で割ったときの余りを求めることができる。
2
kを3で割った商をg とすると, は 3g, 3g+1,3g+2 3 で割った余りは0か1
答 のいずれかで表される。
か2である。
A
[1] k=3g のとき, g≧1 であるから
k=3, 6, 9, ..
2k=23=(2°)°=8°=(7+1)*
=,Co7º+¢Ci7-1+…..+gCg-•7+,Cq
=7(Co7º-1+gC179-2+..+°Cq-1)+1
よって2を7で割った余りは1である。
[2] k=3g+1のとき, g≧0であり
g=0 すなわち k=1のとき
g≧1 のとき
2=2=7･0+2
2k=23g+1=2・239=2・8°=2(7+1)。
=7.2(C79-1+,C179-2+..+qCg-1)+2 (*)
よって2を7で割った余りは2である。
◆二項定理
[3] k=3g+2のとき, g≧0であり
g=0 すなわちん=2のとき 2=2°=4=7・0+4
g≧1のとき2k=239+2=22・239=4.8°=4(7+1)。
= 7.4(C79-1+,C179-2+..+,Cq-1) +4 [1] の式を利用。
よって2を7で割った余りは4である。
[1]~[3] から, 2を7で割った余りが4であるのは,k=3g+2のときだけである。
したがって、2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。
3g
は整数で,
2″=7× (整数)+1の形。
◄k=1, 4, 7,
◆二項定理を適用する式の
指数は自然数でなければ
ならないから, q=0 と
q≧1 で分けて考える。
(*)は [1] の式を利用
して導いている。
k=2, 5,8,
別解 合同式の利用。 合同式については, チャート式基礎からの数学Ⅰ + A p.544 ~ 参照。
Aまでは同じ。 8-1 = 7.1であるから 8≡1(mod 7 )
[1] k=3g (g≧1) のとき 2'2"=8°=1'≡1(mod 7)
[2] k=3g+1 (g≧0) のとき q=0 の場合 2=2=7.0+?
>1の場合
2k=239+1=89.2=19?-?
[自然数nに対
