Question

し　【難関大学志望】

【2】でまたはの所が分からないです。
どうやってまたはを求めるのですか？

304 2 の桁数と最高位の数
(1) 2555 を十進法で表したときの桁数と最高位 (先頭)の数字を求めよ。 ただ
し, logio2=0.3010 とする。
(2) 集合{2^|nは整数で1≦n ≦555}の中に, 十進法で表したとき最高位の数
(早稲田大)
字が1となるもの,4 となるものはそれぞれ何個あるか。

[g(N)=1のとき
|g(N)=2のとき
(S) g(N)=3のとき
g(N)=4のとき
1g(N) ≧5のとき
である。
これより, 2"(n=1, 2, 3, , 555) のうち桁上
がりした最初の数の最高位の数字だけが1であり,
そのような数は2桁 (2416) から168桁 (2555) まで
g(2N)=2 または3
g (2N) = 4 または5
g (2N)=6 または7
g2N) = 8 または
g (2N)=1
1個ずつあるので, 最高位の数字が1であるものは
168-1=167 18
→ 4
x+y=166
4x+3y=551
が成り立つ｡ これを解くと
たとえば、
N12 のとき
g(N)-1, g(2N)=2
N-18 のとき
g(N)-1, g(2N) 3
g(N) ≧5のとき 2NはN
より1桁増えてg (2N) = 1
となる。
である。
.......
次に, 21=2, 2°=4, 2=8 と最高位の数が1であ
る 2555 を除いた 551 個の 2" (n = 4, 5, , 554) に
ついて、同じ桁の数の最高位の数字の変わり方を調
べると,(S) より
(i) 1 → 2-
(ii) 1 → 2
5- › (1)
1→3
6 または 7
(1)
のいずれかで,4が現れるのは (i) だけである。ここ
4桁:1024,2048,4096,
8192 は(i)型
で, (i) では同じ桁の数が4個あり, (i), () では同じである。
桁の数が3個である。
したがって2の2桁から2554 の167桁までの桁
......, 554) で表される数を4
のうち, 2"(n=4,5,
個含む桁が個で, 3個しか含まない桁がy個であ
るとすると,
1桁の数2,2'=4.2=8 の
最高位の数は1でない。
8または 9 (1) 2桁:16,32,64
は)型,
x=53, y=113
となるから2桁以上で最高位の数が4であるもの
が53個ある。 あと1桁の 24 を加えると,
53+1=54個
3桁:128,256,512
は(Ⅱ)型、
桁の種類は2桁から16
までの166。
4個含む桁だけに最高
数が4である数が1個
ある。

3042の桁数と最高位の数
(1) 2550 を十進法で表したときの桁数と最高位 (先頭)の数字を早める
し, logio2=0.3010 とする｡
(2) 集合{2" | nは整数で1≦n555}の中に, 十進法で表
学が1となるものとなるものはそれぞれ何鋼あこがしたと。
<精講
解答
正の整数Nにおいて,
N=2のとき, m, a を計算し、aを求めることになります。
(2) 2"(n=1,2,3,.... 555) の中で同じ桁数の数を順に取り出し、そ
最高位の数の変化のパターンをすべて書き出してみると、最高位が
ものが現れるときには同じ桁の数の個数に特徴があるはずです。
であるから,
logioN=m+α(mは0以上の整数)
140
であるとき,
log1010" =m≦logioN<m+1=logul
より,Nは(m+1)桁の整数で,Nの最高値の
. 10 ≤N<10m+1
a・10m≦N<(a+1)・10m,つまり,
logioama <logio (a+1)
を満たす1桁の正の整数である。
(1) logio2 = 0.3010 より
10gio 255555510g102
=555×0.3010=167.055
167 <logto25 <167+log10 2
. loguo 10' <logio 2655 <10g to 2.10167
10¹<2<2.10¹67
である。これより、2は168桁で, その最高位の
数字は1である。
(2) 一般に正の整数Nの最高位の数をg(N) と表すこ
とにすると、
0.055 <logy
10 は 168桁の
数である。