Question

み

(5)の単振動、最大の速さについての質問です！解説は理解出来てますが、2枚目にあるように単振動の位置エネルギーで表せないのはなぜですか？

114
力学
38 単振動
水平面内において一定の角速度ので
回転している円板がある。 円板上には,
半径方向にみぞが掘られており、その中
にばね定数k,自然長のばねが置かれ
ている。 ばねの一端は中心0に固定され,
他端には質量Mの小球Pがつけられてい
る。 Pはみぞの中を滑らかに動け, 0 か つ
らPまでの距離rを用いておもりの位置を表す。 いま、円板上で静止
している観測者Aには, Por=ro の点に静止して見えた。
真上から見た図
Level (1), (2)★ (3)~(5)★
Point & Hint
W
(1) ro をlk, M, ω を用いて表せ。
(2) こうなるために必要な角速度に対する条件を表せ。
次に,Pをみぞに沿って外側に動かし, 点0 からの距離 n の点で静
かにPを放したところ, P はみぞの中で運動を始めた。
(3) Pが位置にあるときAが見る加速度をaとすると, A が書くべ
き運動方程式はどのようになるか。 みぞ方向外向きを正とする。
(4) Pの位置を,rの代わりに ro から測ってx=r-ro を用いて表
すと, 運動方程式の右辺の力はLx の形になる。 Lをk, M, ω を
用いて表せ。
(5) Pを放してからばねの長さが最小となるまでの時間, ばねの長さ
の最小値,およびAが見るPの最大の速さをk, M, w, ro, n, のう
ち必要なものを用いて表せ。
(北海道大)
Aにとっては遠心力が現れている。
(2) (1) の答えの形から自然に条件が決まってくる。
(5) (4) の結果からPの運動が確定する。
P
the p
LECTURE
(1) 遠心力と弾性力のつり合いより
Mrow²=k(ro-l
...
(2)>0より
kl
Yo= k-Mw²
k-Mw² > 0
k
w√ M
回転が速過ぎると(ωが大き過ぎると),弾
性力より遠心力がまさり つり合う位置がな
くなってしまう。
(3) ばねの伸びは -l と表せるから
Ma=Mrw²-k(r-1)
(4) 上式に r = ro+x を代入すると
(
38 単振動
•mmmm
自然長
遠心力がかかるから,
| ばねは伸びているはず。
①を用いた
115
遠心力
Mをmと書いてい
ないだろうか?
物体上から見たとき
向心
外から見たとき
▷じゃ
Ma = M(ro+x)w² − k(ro+x-1) )
=Mxw²2-kx
=-(k-Mω²)x
......2
∴. L=k-Mo²
(2)で求めた条件よりLは正の定数であり,②はPがx=0(力のつり合
い位置)を中心として単振動をすることを示している。
(5) ②から単振動の周期Tは
M
最大の速さは、 公式 Vmax = Aw より
[ro を代入する)
より速い
Queeeeeeeeeeee-
0
Yo
T=2nvk-M²2
2π√
とする誤りが多い。ばね振り子の周期
k
が不変となるのは、ばねの力のほかに一定の力
がかかる場合のことである。 遠心力は半径と
ともに変わる力である。
ばねの長さが最小となるのは, 内側の端の位置にくるときだから、端か
ら端までの時間は半周期。よって,
M
T= √k-M₁²
振幅Aは上図より, A = n-ro よって, ばねの長さの最小値は
ro-A=2ro-n
#
A
中心
k-Mos²
A² = (n-1)√² M

2
MV² & lite!
2
2振幅

物理 単振動