Question

くりぃむぱん

３つ質問があります
①青線の部分なんですが、これを書かないといけない理　　　　　　　　　　　　　　　　　　由はなんですか？いまいち分かってません　

②赤線の部分の微分の変形が分かりません

③紫線の部分がどうやって出てきたかわかりません

質問多くてすいません。誰か教えてください🙇

n
105 (1) すべての自然数nに対して, x≧0のときが成り立つことを
n に関する数学的帰納法によって示せ。
(2) 関数f(x)=x^-lex について, 極限 lim f(x) を求めよ。
x→8
〔類 17 首都大東京〕

- Ligol=0
105 (1) g(x)=ex- n!
高く
すべての自然数nに対して, x≧0のとき g(x) > 0 が成り立つこと
を数学的帰納法により示す。
[1] n=1のとき
g(x) = ex-x であるから
x≧0より 9₁'(x) ≥0
よって, g(x) は単調に増加する。
-2-1)30123-**-
このことと,g(0)=1>0よりx≧0のとき g(x) > 0 が成り立つ。
よって, n=1のときは成り立つ。
-
[2] n=kのとき
gk(x) >0が成り立つと仮定する。
gk+1(x)=ex_
であるから
=9₁(x)
ht)^(x)=ex_
ここで,仮定より gk(x) > 0 が成り立つので, gk+1'(x) > 0 となり,
k+1 (x)は単調に増加する。
このこととgk+1(0)=1>0よりx≧0のときgk+1 (x) > 0 が成り立
VIBROde
xk+1
(k+1)!
む々
- とおく。
g1'(x)=ex-1
mと
よって
したがって,n=k+1のときも成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数nに対して,x≧0のとき g(x)>0す
xn
n!
0< x²-¹e-* <n! が成り立つ。
x
2¹.
なわち ex>
*mが成り立つ。
AL>x>0
VOX
(2) よりx≧0のとき, ex> が成り立つから, x>0のとき, AJ
về xuất bổ đề 50< Iv0<
n!
lim =0であるから、はさみうちの原理により
X→∞ x
1-x
limf (x) = limxn-le-x = 0
=
X18
xk
k!
818
0≤ (x)
S80p-1S=$+
x8+

数ⅲ 数学的帰納法 はさみうちの原理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かきつばた

ん

くりぃむぱん

ありがとうございます😭