Question

低脳

ロピタルの定理をわかりやすく説明してください

スマｰ
の例
入の
※解
青
の2
※解
い
日入選程学
8
160
|練習
④92
解答
演習 例題 92 ロピタルの定理を利用した極限
(1) lim-
x→0
ロピタルの定理を用いて,次の極限値を求めよ。
x-log(1+x)
x²
(1) は
指針 ロピタルの定理 (以下)は、 まず前提条件
lim
f(x) が不定形 (10) のとき
や
g(x)
また
0
また
f' (x)
lim
x-a g'(x)
(2) は
また
( 2 ) 分母・分子を微分した式の極限 lim-
x-00
(1) f(x)=x-log(1+x), g(x)=x2とすると
1
f'(x)=1-
1+x
したがって
f'(x)
lim
x-0 g'(x)
とすると
(1) lim
x→0
したがって
の不定形で (3)の0×(−∞)は変形するとの不定形になる。
(x²)'
もまた
な場合は,更に分母・分子を微分した式の極限を考える。
(e²x),
x-log(1+x)
x²
(2) f(x)=x^2,g(x) = ex とすると
lim
x-x0 g"(x)
lim
x→0
XC
-=lim
x→0
lim
X→∞
f'(x)
lim
x++0 g(x)
(2) lim
-=1 (有限確定値) ならば lim
-=lim
X→∞
x²
e²x
x→+0
x²
x+∞0 0²x (3) lim xlog x
x→+0
f'(x) = -
=1/1₁
x
f'(x)=2x,g'(x)=2e2x, f"(x)=2, g" (x)=4e²x
f" (x)
500
2
4e2x
=0
EXCOVE
x
1+x=lim 2 (1+x)=1/
2x
x→02(1+x)
2
1
x
1+x '(x)=2x
=0
x
-=lim
x→+0 1
x²
したがって limxlogx = 0
を確かめてから適用する。
(3) xlogx= logx であるから, f(x)=10gx,g(x)=1
1
g'(x)=-
1
(2) lim
20
1
x²
エール g(x)
x→+0
f(x)=1
lim(-x)=0
ロピタルの定理を用いて,次の極限値を求めよ。
ex-e-x
x-sinx
x
x→0 x2
8
8
18
の不定形になる。このよう
00000
p.159 参考事項
|lim{x-log(1+x)}=0,
x→0
limx2=0
x→0
x→0であるから,
x=0の近くで考える。
X18
<lim
limx2=8, lime²x=8,
lim2x=∞, lim2ex = ∞
lim
f" (x )
g" (x)
f' (x)
g'(x)
X-∞
lim =8
x→+0 x
→
=1=>
=lim
x-a
=l
<lim logx= -8,
x→+0
(3) lilog 1
x+1
f(x)
g(x)
②86 f(x)=
EXER
③87 平均値
(1)
注意 ロピタルの定理は,
利用価値が高い定理である
高校数学の範囲外の内
容なので、 試験の答案とし
てではなく、検算として使
う方がよい。
(2) (1)
(2)
④88 関数
(1)
(2)
(3)
④89 (1
(2
HINT

ためよ。
になっている。 よって, 前
を微分係数の形
用する区間はx0 と
COS x2
基本 89,90
◆平均値の定理が適用でき
る条件を述べている。
<x<0<x2
f(b)-f(a)
b-a
-= f'(c),
a<c<b
はさみうちの原理。
f(b)-f(a)
b-a
a<c<b
x→+0であるから,
x=0の近くで考える。
-=f'(c),
はさみうちの原理。
●) 左側極限と右側極限
が0で一致したか
限値は0とな
161 EX 88,80
考事項
ロピタルの定理
f(x)
img(x)が
の形になるとき, この極限を求める方法として, 約分 くくり出し ・ 有
0
化などを学んだ。 大部分はこれらの方法で処理できるが, 中には式変形が難しく、 やっ
かいなものもある。 そのようなときの有効な方法として, ロピタルの定理がある。
ロビタルの定理 (関数(g(x) を含む区間で連続。x=a以外の区間で
微分可能で, limf(x)=0, limg(x)=0, g'(x)=0 のとき
x-a
Ir ƒ(B)-f(a)
f'(x)
lim
=l (有限確定値) ならば lim
xa g'(x)
x→a
これは,平均値の定理の拡張であるコーシーの平均値の定理を利用して証明される。
コーシーの平均値の定理)
関数f(x),g(x) が閉区間[α, β] で連続, 開区間 (α, β)で微分可能ならば
f' (c)
g'(c) '
g(B)-g(a)
a<c<B
を満たす実数cが存在する。 ただし, g (B)≠g (a), g'(x)=0 (a <x<B) である。
f(B)-f(a)
=kとし, F(x)=f(x) f(a)k{g(x)-g(α)} とする。
(証明)
g(B)-g(a)
このとき, F(x)は閉区間[α, B] で連続,開区間(α, β)で微分可能で
F(α)=0, F(B)=f(B) f(a)k{g(B)-g(a)}=0
が成り立つから,ロルの定理によりF(c) = 0, α<c<β となる実数cが存在する。
F'(c)=f'(c)kg'(c) であるから f'(c)kg'(c)=0
g' (c) ¥0 であるから
=milk=f'(c)
すなわち
f'(c)
f(B)-f(a)
a<c<B
よって
x-a
g'(c)
g(B)-g(a)g'(c)'
証明 コーシーの平均値の定理を用いると, limf(x)=limg(x)=0のとき f(a)=g(a)=0
[f(x), g(x)はx=α で連続] であるから
x-a
x-a
f(x) f(a) f'(c)
f(x)_
g(x)
g(x)-g(a)
g' (c), a<c<xまたは x<c<a
となるcが存在する。 x →αのときc →αとなるから
f(x)
lim
x-a g(x)
x-a
また, lim
x→a
f'(x)
g'(x)
f(x)
g(x)
,f'(x)
a g'(x)
=lim
x-a
f(x)=1
g(x)
x-a
x→a
=lim
f(x)
lim
x-a g(x)
ロピタルの定理は,条件 limf(x)=0, limg(x)=0の代わりに,次のような条件の場
にも成り立つ。
x-a
① lim_f(x)|=8, lim|g(x)=∞ ②
-=lim
x-a
f'(x)=lならば lim
すなわち lim/
x-a g'(x)
が不定形である場合、同様な条件で lim
x-a
g'(x)
x-a
159
f"(x)
f'(x)
g"(x)
f'(c)
c-a g'(c)
=lim
f(x)
x-a g(x)
-=l が成り立つ。
f"(x)
g" (x)
X→∞
=l
lim f(x)=0, lim_g(x)=0 (複号同
x-±∞
4章
4
13 平均値の定
-=l (有限確定値

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

スモモ

まず、ロピタルは高校範囲ではないですが、とても便利であるため、検討として使えれば非常に得なテクニックです。
簡単に、ロピタルの定理は「不定形の時、分子分母を何回微分してもその極限値は元の分数の極限値と同じである」ということです。
例えば、x/e^xの時(xを無限に)、分子分母を微分すると分数は1/e^xになり、これの極限値は簡単に0であることが分かります。ロピタルの定理によって、この元の分数のx/e^xも0になります。