368
00000
基本例題 45 和事象・余事象の確率
あるパーティーに、A.B.C.Dの4人が1個ずつプレゼントを持って集まった。
これらのプレゼントを一度集めてから無作為に分配することにする。
(1) AまたはBが自分のプレゼントを受け取る確率を求めよ。
(2) 自分が持ってきたプレゼントを受け取る人数がん人である確率をP(k) とす
る。 P(0), P(1), P(2), P(3), P(4) をそれぞれ求めよ。
指針▷ (1) A,Bが自分のプレゼントを受け取る事象をそれぞれA,Bとして>
和事象の確率 P (AUB)=P(A)+P(B) -P (A∩B) を利用する。
(2) P(0) が一番求めにくいので,まず, P(1) P (4) を求める。 そして, 最後にP(0) を
P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1 (確率の総和は1) を利用して求める。
解答
(1) プレゼントの受け取り方の総数は
4! 通り
A,Bが自分のプレゼントを受け取る事象をそれぞれ A, B
とすると 求める確率は
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
3! 3! 2! 6 6 2
5
+
4! 4! 4! 24 24
+
24
12
品
(2) [1] k=4のとき, 全員が自分のプレゼントを受け取るか
1_1
ら1通り。 よって
P(4)=-
4! 24
[2] k=3となることは起こらないから
P(3)=0
[3] k=2のとき, 例えばAとBが自分のプレゼントを受
け取るとすると, C, D はそれぞれD, Cのプレゼントを
受け取ることになるから1通り。
よって
P(2)=5
4C2×1_1
4!
[4] k=1のとき, 例えばAが自分のプレゼントを受け取る
とすると, B, C, D はそれぞれ順にC, D, B または D,
B,Cのプレゼントを受け取る2通りがあるから
P(1)=
11=1/1
4C₁X2 1
4! 3
基本43.44
[1]~[4] から P(0)=1-{P(1)+P(2)+P(3)+P(4)}
=1-(1/3+1/+1/4)=1/08
4個のプレゼントを1列に
並べて, A から順に受け取
ると考える。
A の場合の数は, 並び
□□□の3つの□に,
B,C,D のプレゼントを
並べる方法で, 3!通り。
3人が自分のプレゼントを
受け取るなら、残り1人も
必ず自分のプレゼントを受
け取る｡
$373 [S<X] AL
自分のプレゼントを受け取
る2人の選び方は2通り。
(検討
P (0) の場合の数は4人の
完全順列 (p.318) の数である
から
9通り
9
よってP(0)=1/12/1=12123
練習 1から200までの整数が1つずつ記入された 200本のくじがある。 これから1本
A
③45 を引くとき,それに記入された数が2の倍数でもなく、 3の倍数でもない確率を求
めよ。
[[]] (371 EX36
重要 例題 46 確率の基本計算と和事象の確率
2つのさいころを同時に投げる試行を考える。 Aは少なくとも1つの目が出る
00000
事象,Bは出た目の和が偶数となる事象とする。
(1) 次のそれぞれの事象が起こる確率を求めよ。
[2] A∩B
[1] A
[3] AUB [4] ANB
(2) A,Bのどちらか一方だけが起こる確率を求めよ。
指針 全事象Uは,右図のように、互いに排反な4つの事象
ANB, ANB, ANB, ANB に分けられる(p.304 参照)。
(1) [3] P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
[4] P(A∩B)=P(A)-P(A∩B)
[5] P(A∩B)=P(B)-P(A∩B) を利用。
(2) A,Bのどちらか一方だけが起こるという事象は, ANBまたはA∩B(互いに排反)
で表される。
11 3.3+3.3 5 24 2
+
62 36 36 3
36
[4] P(A∩B)=P(A)=P(A∩B)= 11 5 6
36 36 36
3.3+3.3
62
5 13
[5] P(A∩B)=P(B)-P(A∩B)=
36 36
(2)_Aだけが起こる事象は ANE,Bだけが起こる事象は
A∩B であり、 事象 ANB と AnBは互いに排反であるから
(1) より
P(A∩B) (A∩B))=P(A∩B)+P(A∩B)
613_19
+
36 36 36
解答
(1) [1] A の余事象 A は, さいころの目が2つとも6でない | 少なくとも
には余事象が近道
事象であるから
P(A)=1-P(A)=1-
52 11
62 36
[2] 少なくとも1つが6の目で 出た目の和が偶数となる
場合には, (26) (46) (62) (64) (66)の5通
りがあるから
P(A∩B)=
[3] P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
5 5
62 36
ラブ)の種類が異なるという事象をBとする。
(1) 次のそれぞれの事象が起こる確率を求めよ。
[1] AUB
[2] ANB
(㎝)
[5] AnB
1
6
確率を求めよ。
基本43.44
B.
ANB ANB ANB
A∩Bの要素を数え上げる
方針｡
B ANB
(検討
指針の図を,次のように表す
こともある｡
-ACA
A∩B
A∩B
B A∩B ANB
練習
ジョーカーを除く1組52枚のトランプから同時に2枚取り出すとき, 少なくとも
③46 1枚がハートであるという事象をA, 2枚の絵柄 (スペード, ハート, ダイヤ, ク
(2)はP(A∩B)+P(A∩B)
=P(AUB)-P(A∩B)
[3] AnB
から求めてもよい。
確率の加法定理
< (1) [4], [5] の結果を利用。
369
2章
7
確率の基本性質
45.2のような同時に起こり得ない場合、
「互いに排反なので」とよく書いてしまうのですが、
同時に起こり得ない場合は全部に
「互いに排反なので」と書いていいということですか？