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イズ

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t
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応 262. 〈定積分と不等式〉
nを自然数とする。
(1) 連続な関数 f(x) が区間 [0, 1] で増加するとき,
9.
12 (k-1)=f(x)dx=(-)が成り立つことを示せ。
nk=1
n
(2) aが正の有理数のとき, na+1≦(+1)an+1)+1 が成り立つことを示せ。
k=1
ただし, x が連続な関数であることを証明なしに用いてもよい。
[18 山口大・理,医]

262 〈定積分と不等式〉
(1)
f(x)dx=f(x)dx が成り立つことを利用する。そのためには、まず
カタコト)=f(x)dx/)を示し、1,2,… とした不等式の辺々を足
n
k
す。なお,区間[a, 6] で連続な関数f(x), g(x) について
f(x)=g(x) ならば Sof(x)dx = Sog(x)dx
(21) において, f(x)=xとする。
から
n
関数f(x) は区間
よって
ゆえに
k
S
√(k-1)=√(x) = √ (A) -
n
k-1
n
k-1 k
n
(k=1,2,......, n) で増加する
k
— ^(^ = ¹) = √²/_/(x) dx = -—-/ (2)
n
k-1 f
n
n
n
n
k
k-1
(²-¹) dx = S(x) dx = ( ( ) x
n
dx
k-1
n
n
k=1,2,......, n として, 辺々を足すと
1 2 √ ( ² = ¹) = √²/(x) dx = ² 2 / (²)
nk=1
n
nk=1
F(G)-
(2) α は正の有理数であるから, x は区間 [0, 1] で増加する。
a
(1) において, f(x)=x^ とすると
na+1
ka
1 - 2 (k = ¹)² = Sxºdx ≤ 1 - 2 (A)*
nk=1
n
nk=\n
na
よって
- Σ (k −1)ª ≤ – ≦
1
a+1
k=1
k=1
a +1 > 0, na +1 > 0 であるから,各辺に(a+1) n +1 を掛けると
1
24+1
n
na
n
n
(a+1) Σ (k−1)ª ≤nª²+¹ ≤ (a+1) Σ kª
k = 1
k=1
n
n+1
n
Σ (k-1)ª= Σ kª = Σ kª
k = 1
k=1
k=0
よって (+1) ka(n+1)a+1
ゆえに
n
(a+1) Ž (k−1)ª ≤n²+¹ kV) (a+1)(k-1)²s(n+1²+1
(k−1)ª
k=1
ここで
ka
k=1
nª+¹ ≤ (a+1) Σ kª ≤ (n+1)ª+¹
k = 1
(タート) はxに無関係な
定数であるから
(²=1) dx
=/(-¹)
= √(k-1). / / /
n
◆不等式の各辺に文字式を掛
けるときは, 掛ける式の符
号を確認する。
◆n を n +1 におき換える。
k=0のとき k = 0
数学重要問題集(理系)
239
n TC

定積分と不等式