ルーシー

次の条件(i),(ii),(iii)を満たす関数f(x)(x>0)を考える。 (i)f(1)＝0 (ii)導関数f'(x)が存在し,f'(x)>0(x>0) (iii)第2次導関数f''(x)存在し,f''(x)<0(x>0) このとき,以下の各問いに答えよ。 (1)a≧3/2のとき,次の3つの数の大小を比較せよ。 f(a),(1/2){f(a−(1/2))＋f(a＋(1/2))},∮(a−(1/2)→a＋(1/2))f(x)dx (2)整数n(n≧2)に対して,次の不等式が成立することを示せ。 ∮(3/2→n)f(x)dx<Σ(k＝1→n−1)f(k)＋(1/2)f(n)<∮(1→n)f(x)dx (3)次の極限値を求めよ。ただし,logは自然対数を表す。 lim(n→∞)(n＋logn!−logn^n)/logn (東京医科歯科大)