Question

あ

共通テストの問題で分からないところがあります。
写真に分からないところを書いているので、お願いします🙏

22 2023年度 数学Ⅰ・A/本試験
(2) 花子さんと太郎さんは. (1) で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作
り、その右側に横の長さが363 で縦の長さが 154 である青い長方形を1枚以上着
べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。
110]
赤
B
462
赤
8
は縦の長さがスセソ の倍数である。
赤 青
赤 青
図 2
:
363
青
青 154
このとき, 赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと, 青い長方形を並べ
てできる長方形の縦の長さは等しい。 よって, 図2のような長方形のうち、縦の
長さが最小のものは, 縦の長さがスセンのものであり, 図2のような長方形
二人は、次のように話している。
2023年度 数学Ⅰ・A/本試験 23
花子: 赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみよう
よ。
太郎 : 赤い長方形の横の長さが462 で青い長方形の横の長さが363 だから,
図2のような正方形の横の長さは462363 を組み合わせて作ること
ができる長さでないといけないね。
花子: 正方形だから、横の長さはスセソ の倍数でもないといけないね。
462363の最大公約数は タチであり,
タチの倍数のうちで
スセソ の倍数でもある最小の正の整数は ツテトナである。
これらのことと､使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であ
ることから, 図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは, 一辺の
長さが ニヌネノのものであることがわかる
19 TO

のものである。
(2)363154 を素因数分解すると
363=3×112
154=2×7×11
(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り,その右側に横の長さ
で縦の長さが154 である青い長方形を1枚以上並べて、図2のような正方形や長方
形を作ることを考える。
このとき, 赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと, 青い長方形を並べてで
きる長方形の縦の長さは等しい。
よって、図2のような長方形は, 縦の長さが110と154の公倍数となる。
この長方形のうち. 縦の長さが最小のものは, 縦の長さが110と154 の最小公倍数
となればよいから
2×5×7×11= 770
→スセン
のものであり、図2のような長方形は縦の長さが770 の倍数である。
462363の最大公約数は
3×11 = 33
であり、33の倍数のうちで, 770の倍数でもある最小の正の整数は、33=3 × 11 と
770=2×5×7×11 の最小公倍数であるから
2×3×5×7×11= 2310| →ツテトナ
→タチ
である。
これらのことと, 使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であるこ
とから、赤い長方形を横に4枚, 青い長方形を横に6枚 (a,b: 自然数)並べて
図2のような正方形を作るとき, 一辺の長さは2310の倍数でなければならないの
462a+3636=2310n (n: 自然数)
33 (14a+11b) = 33x70m
すなわち, 140+ 116=70 ･･････ ② を満たす自然数 α, b, n を考えればよい。
この正方形のうち, 辺の長さが最小であるものは,nの値が最小となる場合なので、
②を変形すると
116=14 (5n-a
11と14は互いに素であり, bは自然数なので, kを自然数として
b=14k ......③
5n-α=11k .......④
2023年度 数学I・A/本試験解答
においては自然数より、5n- (11) 211となるので..が自然数で
せる。
あることを考慮すれば
#23
となる。
=3のときは
15-a=11k
~5n=1/k+₂
n=1+3としてんが
となるから、a=4. k=1のとき④を満たし、=1のときよりb=14 となる。
最小に
したがって ③ ④ を満たす自然数α bが存在するので、 最小となるのは､
w=3である。
よって、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、a=4.6=14.
=3のときだから、一辺の長さが
| 2310×3= 6930 →ニヌネノ
のものであることがわかる。
解説
なるような
Reate
見つける
色のついた長方形を並べて, 長方形や正方形を作ることを考える問の途中で
は誘導があるため,計算すべきことがわかりやすくなっているが (2)の最後の設問は
23
必要があり、 少し難しい。 思考力が問われる問題となっている。
誘導がないため, 花子さんと太郎さんの会話文を手がかりに合方法を設定していく
(1) 462110 の両方を割り切る素数のうち最大のものを求める際に
み落とさないように注意する。
タメ
赤い長方形を並べて正方形を作るとき, 赤い長方形を横にx
自然数) 並べて正方形を作ると考えて, 462x=110y, 両辺を2で割って、 21x
から、辺の長さが最小であるものを求めてもよいとうはいだから、
x=5, y=21となることより, 一辺の長さは462×5=2310となる。
赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、平方形ではないので、
462x110y すなわち, 462x-110y| ≠0 となる場合を考える。
すが
|462x-110y|=22|21-5y | が最小の自然数となる場合を考える際に、 21x5y|
とり得る値に当たりをつけて考える。 21x5y=1または21-5y = -1 を満たす
然数x, y が存在するかどうかを調べるとき, 5の倍数である 5y の一の位は
あるいは5となることに着目すれば, x=1, y=4の場合に 21x5y=1となるこ
気付く。 また, 21x-5y=-1 となるには, 5の倍数である 5y の一の位は0
は5なので, 21xの一の位が9あるいは4とならなければならないことに気
したがって, x=123のとき,
21x-5y=-1 を満たす自然数y は存在
とがわかるので, x=4が決定でき, y = 17が定まる。

No.
No.
Date
5n-a-llk₁
5h=11k+a₂
a
n = = R + =
R=5₁A=5a²²
n = 11 + 1
=12
ō
と違っていて
50-α = 11k 211
n²3
n=3 04
b = 14