Question

温玉

集合の同値関係の問題で質問です。
同値関係の条件は分かったのですが、以下の問題の答えの導き方がわからないです。

1．2 点集合 A = {a, b} の考えうる同値関係をすべて挙げよ.

2．４点集合 B = {a, b, c, d} の考えうる同値関係をすべて挙げよ.

以上の二つの答えと考え方を解説していただきたいです。 よろしくお願いします。

Answer 1

Take

温玉さま

直和分割と同値関係は1:1に対応します。

２点集合を直和分割すると
１グループで表す仕方は明らかに１通り、２グループで表す仕方は（１，１）型の１通りで合わせて２通り。
つまり、同値関係は次の２つです。
R1:aa,ab,ba,bb　これはx～y⇔x,y∈Aという同値関係です。
R2:aa,bb　　　　これはx～y⇔x=yという同値関係です。

４点集合を直和分割すると
１グループで表す仕方は１通り、２グループで表す仕方は（１，３）型が４通り、（２，２）型が３通りの計７通り、
３グループで表す仕方は（１，１，２）型の６通り、４グループで表す仕方は（１，１，１，１）型の１通で合わせて１９通り。
つまり、同値関係は次の１９個あります。
直和分割{{a,b,c,d}}に対応するR1:aa,ab,ac,ad,ba,bb,bc,bd,ca,cb,cc,cd,da,db,dc,dd　これはx～y⇔x,y∈Aという同値関係です。
直和分割{{a},{b,c,d}}に対応するR2:aa,bb,bc,bd,cb,cc,cd,db,dc,dd　これはx～y⇔xとyを結ぶ往路と復路がある、という同値関係です。
…以下、同様に…
直和分割{{a},{b},{c},{d}}に対応するR19:aa,bb,cc,dd　これはx～y⇔x=yという同値関係です。