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○○○○2 最短のケーブルで都市をつなぐ方法
3つの都市の位置を地図上で確認したところ,
右のような△ABC の頂点上にあった。 このと
き、どのように結べばケーブルの長さの総和が
10 最小になるだろうか。 座標平面を利用して考え B
てみよう。
学習のテーマ
微分法の応用
複数の都市をネットワーク回線でつなげることを考える。このとき, コ
ストを低くするためには、つなげるケーブルの長さの総和をできるだけ
短くする必要がある。 各都市をどのようにケーブルでつなげればよいか
考えてみよう。
H
3
3点をA(0, 3), B(2,0),C(20) とする。 △ABC の周および内部
に点Pをとるとき, AP+BP+CPが最小となる点Pの座標と, その
ときの AP + BP + CP の最小値を求めてみよう。 ただし,
AP +BP+CP が最小となるのは, 点PがABC の対称軸上にある
ときであることがわかっている。
[2] ABCの最大の角が120°より大きい場合
△ABCの最大の角をはさむ2辺で3点を結ぶ
4
一般に, 3点A,B,Cを線分で結んでつなげるとき, その線分の長さ
の総和が最小となるのは,次のように結んだときであることが知られて
いる。
[1] ABC の最大の角が120° より小さい場合 [1]
△ABCの内部に点Pをとり, 点Pから3点を
結ぶ
B・
[2]
B
C
A
C
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10
15
次に、他の4つの都市の位置を地図上で確認したところ, 正方形の
点上にあった。
ある生徒は, この4つの都市を右のように対角 Ar
線状につなげれば, ケーブルの長さの総和が最小
になると考えた。 点Pは対角線の交点である。
課題
4
R
前ページのことを利用すると、 正方形の内部 A
に2点Q, R をとり、 右の図のようにして4
つの都市を結んだ方が, ケーブルの長さの総
和が短くなる場合があることがわかる。
その理由を考えてみよう。
B
Q
課題学習
P
R
D
課題4のように正方形の内部に 2点 Q, R をとるとき,
AQ+BQ+QR+CR+DR が最小となるときのつなげ方が, ケーブルの
長さの総和を最小にして、 正方形の頂点上にある4つの都市をつなげる
方法である。
2点 Q, R をどの位置にとればよいか, 座標平面を利用して考えてみ
よう。
まとめの課題2
4点A(-1, 1), B(-1, -1), C(1, 1), D (11) がある。 実数 αが
0<a≦1の範囲にあるとき, 2点Q(-α,0), R (α, 0) を考える。このとき
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5本の線分の長さの和 AQ+BQ+QR+CR+DR が最小となるようなaの植
を微分法を利用して求めてみよう。
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