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基本例題 73 三角形の傍接円,傍心
△ABC の ∠B, ∠Cの外角の二等分線の交点をⅠとする。 このとき,次のことを
証明せよ。
(1) Iを中心として, 辺BC および辺AB, AC の延長に接する円が存在する。
F
(2) ∠Aの二等分線は, 点Iを通る。
指針▷ (1) 点P が ∠AOB の二等分線上にある点
を利用する。
⇔点Pが∠AOB の2辺 OA, OB から等距離にある
Iから、辺BC および辺 AB, AC の延長にそれぞれ垂線 IP, IQ IR を下ろし、これら
の線分の長さが等しくなることを示す。
(2) 言い換えると「∠B,∠Cの外角の二等分線と∠Aの二等分線は1点で交わる」とい
うことである。点Iが∠QAR の2辺 AQ, AR から等距離にあることをいえばよい。
なお,(1) での円を△ABCの傍接円といい, 点Iを頂角 A内の傍心という。
解答
I から, 辺BC および辺AB, ACの延長にそれぞれ垂線IP, IQ, IR を下ろす。
(1) IB は ∠PBQ の二等分線であるから
MO HA MO A
MOS
IP=IQ
IP=IR
ICは∠PCR の二等分線であるから
よって
IP=IQ=IR
また, IP ⊥BC, IQ⊥AB, IRICAであるから, I を中心とし
て、辺BC および辺AB, AC の延長に接する円が存在する。
(2) (1) より IQ=IR であるから, 点Iは∠QAR の2辺
AQ, AR から等距離にある。
ゆえに,点Iは∠QAR の二等分線上にある。
したがって,∠Aの二等分線は, 点Iを通る。
練習
0 084
ABCの色
広島修道大
613
基本68
Q
検討 傍心傍接円
10
三角形の1つの頂点における内角の二等分線と、他の2つの頂点におけ
る外角の二等分線は1点で交わる。 この点を1つの頂角内の)傍心とい
う。また, 三角形の傍心を中心として1辺と他の2辺の延長に接する円
が存在する。 この円を, その三角形の傍接円という。
1つの三角形において,傍心と傍接円は3つずつある。
なお,これまでに学習してきた三角形における外心,垂心,内心, 重心と
傍心を合わせて, 三角形の五心という。
B
-
I---
BAC
「基
△
3.
指針
C
解
AF
BM
よま
また
8
7
これ
よ
E
C
