Question

みみ

3x^2+2√3xy+5y^2=24の式からどのような計算方法で長軸の座標を求めればいいのか分かりません...

ib
EXC は 3x2+2√3xy +5y2=24 で表される曲線である。
C.を,原点を中心に反時計回りに
π
103
だけ回転して得られる曲線 C2の方程式を求めよ。
6
C2の外部の点Pから引いた2本の接線が直交する場合の点Pの軌跡を求めよ。
Cの外部の点Qから引いた2本の接線が直交する場合の点Qの軌跡を求めよ。
HINT (1) 複素数平面上の点の回転を利用する。
(2) P(p,q) として, 点Pを通る接線の方程式を C2の方程式に代入。
(3) (2) の結果と曲線 C1, C2 の関係に注目。
CAR
曲線C上の点P(X,Y) を,原点の周りにだけ回転し
た点をQ(x, y) とすると,複素数平面上の点の回転を考える
ことにより、 次の等式が成り立つ。
X+Yi={cos(-) +isin(-) (x+yi)..... ①
(1
① から
X+Yi=
Yi= √3−1(x+yi) = √3x+y + −x+√3x;
2
2
2
X+ Yiz
π
回転
一回転
x+yi

210- 数学C
X=
√3x+y,
2
y==x+√3y
2
ゆえに
2X=√3x+y, 2X=-x+√3y
よって
また
3X 2+2√3XY +5Y2=24
③ の両辺に4を掛けたものに② を代入して
3(√3x+y)2+2√3(√3x+y)(x+√3y)
整理すると 8x2+24y²=96
x²
12 4
よって, 曲線 C2 は楕円で, その方程式は
検討 X, Yをx,yで表すには, 三角関数の加法定理を利用す
る方法も考えられる。
(2) P(p, g) とする。 曲線 C2 とx軸の交点のx座標は ±2√3
[1] カキ±2√3のとき, 点P(p, g) を通る接線の方程式は
y=m(xp)+α とおける。
2
これを曲線 C2の方程式に代入して整理すると
(1+3m²)x2+6m(g-mp)x+3{(mp-q)²-4}=0
このxの2次方程式の判別式をDとすると
D
4
+5(-x+√3y)²=96
=3{-(mp-q)²+12m²+4}
=3{(12-p2)m²+2pgm+4-q^}
(3
={3m(q−mp)}²−(1+3m²)•3{(mp−q)² —4}
4-q² =-1
12-p²
=1
D=0 とすると
(12-p2m²+2pgm+4-g2=0.
このmの2次方程式 ④ の2つの解を m1, m2 とすると,
題意を満たすための条件は m1m2=-1
ゆえに, 解と係数の関係から
よって
p2+q²=16, p≠±2√3
[2] =±2√3のとき,直交する2本の接線はx=±2√3
y=±2 (複号任意) の組で, その交点は
回転して得られる曲線である。
よって、点Qの軌跡は 円x2+y²=16
るから,求める軌跡は点Pの軌跡を,原点の周りに一匹だけ
6
YA
2
O
C2 C₁
-2
(2√3, 2), (2√3, -2), (-2√3, 2), (-2√3, -2)
これらは円+q² = 16上にある。
[1], [2] から 求める軌跡は
円x2+y^2=16
(3) 曲線 C2 は曲線 C を原点の周りに だけ回転したものであ-2√3
-2√3
←本冊 p.250 重要例題
148 参照。
y軸に平行でない。
12-p²=0
←C2の方程式を
x2+3y²=12と変形した
ものに代入するとよい。
±2√3から
←mm2=
今ある場合
2本できない
2√3
←垂直
⇔(傾きの積)=-1
2
4-q²
12-p²
0
P
N
x
13
EOT
84
2√3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かきつばた

xyが残ってる時点で標準形から回転した形になる。