Question

ふわり

中等教育教科法数学②です！
難しいです、。。
①もあって、、教えてもらえると嬉しいです、。
よろしくお願いします🙇🏻‍♀️💦

中等教科教育法数学 ⅡI 第2設題
|1|
3 地点 P, Q, R があり,PからQを通る Rまでの道のりは 7200 [m] で, P から Q までの道のりと Q
からRまでの道のりは等しい. A,B,Cの3人が、 次のようにしてPからQまで手紙を配達した :
2
• A は10時にPを毎分 75 [m] の速さでQに向かって出発し, B に出会い, 手紙を渡してすぐに
向きを変えて来た道を同じ速さでPに戻った.
15
・BはAより何分か遅れてQを毎分90 [m] の速さでPに向かって出発し, A に出会い, 手紙を
渡してすぐに向きを変えて来た道を同じ速さでRに向かった. そして,出発点 Q を通過した後
Cに出会い, 手紙を渡してすぐに向きを変えて来た道を同じ速さでQに戻った.
・CはBより何分か遅れて R を毎分125 [m] の速さでQに向かって出発し, B に出会い, 手紙を
受取りすぐに向きを変えて来た道を同じ速さでRに戻り, 手紙は R に届いた.
3人が手紙の受け渡しを終えてそれぞれの出発点に戻るまでに, AとBの歩いた時間は等しく, A と
Cの歩いた道のりは等しかったという.
(1) 手紙が R に届いた時刻を求めよ.
(2) B が Q を出発した時刻, C が R を出発した時刻をそれぞれ求めよ.
次のメモを持ってあなたは宝島を目指した:
1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
島の中央に桃栗, 柿の木が立っている野原がある.
.
桃の木から栗の木に向かって歩数を数えて歩く. 栗の木に着いたら右へ90° 向きを変
えてさらに同じ歩数を歩き, そこに杭を立てる.
桃の木から柿の木に向かって歩数を数えて歩く. 柿の木に着いたら左へ90° 向きを変
えてさらに同じ歩数を歩き, そこに杭を立てる .
・ 2つの杭のちょうど真ん中の位置に宝が埋まっている.
宝島に渡り目的の野原に着いたあなたは愕然とした. 桃の木だけが枯れてしまったようで跡形もなく
なっていた. あなたは宝を掘り当てることができるかを論ぜよ.
紙を筒状に丸めて半径r高さんの直円筒をつくる. 図のように,
直円筒の高さ方向に平行で, 円筒の中心を通る長方形 ABCD を考
える. この長方形の頂点 B, D を通り, この長方形に垂直な平面 P
で直円筒を切る.
(1) 平面 P 上の, 切り口で囲まれた部分の面積を求めよ.
(2) 直円筒を切ってできた2つの部分をそれぞれ広げて平面とし
たとき, この平面上で切り口はどのような曲線になっているか論
ぜよ.
4 長さ1の正方格子を考える. 格子点上に頂点にもつ正5角形は存在しないことを示せ .
4桁の自然数nについて, n3 の値の下4桁がnとなるものを全て求めよ.
B
CA
D
6 縁が楕円の形をしたビリヤード台を考える. この楕円の1つの焦点から玉を突くと, 縁に当たり跳ね
返った玉はもう一方の焦点を通過する. これを示せ .

7
18
19
なるキーが付いている平方根が計算できる電卓を用意する. ある数α> 0 を適当に設定し
√ x3 =
ax 3 =
1セット
1セット
はどのような数に収束するか論ぜよ.
(3) 2 の値を得る方法を論ぜよ.
とくりかえす. 次の問いに答えよ.
(1)(★) により表示される数はどのような数に収束するか論ぜよ.
(2)(★)において,✓
✓のところを✓ ✓
x 3=
1セット
(t分後のお湯の温度) (100 (室温))' + (室温)
=
湯冷ましなしでおいしいお茶を淹れることを考える. 100度に沸騰したお湯の冷め方にについて, t分
経った時のお湯の温度は,
中学校の理科で習ったように, 地震は2種類の波 P波 (縦波), S波 (横波)
から構成されていることが知られている. P波, S波は, それぞれ, 秒速8
[km], 秒速4 [km] で震源から球面波として伝わるとする. P波が観測され
てからS波が観測されるまでの時間を初期微動継続時間とし、この時間を
測ることにより震源までの距離を見積もることができる. 先般の地震で図
の地点 0, A, B で, それぞれ 10.75 秒 11.25 秒 21.3125 秒の初期微動継
続時間が観測された ここで, A, B は, それぞれ 0 から東に44[km], 北
へ 253.5 [km] の位置にあるという.
(1) 0, A, B から震源までの距離をそれぞれ求めよ.
(2) 震源の位置と震源の深さを求めよ.
cos∠AOB = sin a sin βcos y+cos a cos β
であることを示せ .
とする. このとき表示される数
で与えられることが知られている. ここで, αはある実数である.
いま, 室温を20度とし, 煎茶がおいしく淹れられる 90度にお湯が冷めるまで3分かかったとする. 玉
露をおいしく淹れられる 50度になるまでには,どれだけの時間待たなければならないかを答えよ. 必
要であれば, log10 2=0.3010..., log1030.4771..., log107 0.8451･･･ を用いよ.
(2) 図のように, 半径Rの球面上に3点 A, B, C を定める. この
とき,
･･･ (★)
...
y
10 球面上の2点を結ぶ最短路は, 2点と球面の中心を通る平面による切り口の円 (大円)の弧で与えられ,
この円弧の長さを2点間の距離と定める。 具体的な計算では, (スマートフォンの) 関数電卓を用いよ.
(1) スマートフォンのコンパス(方位磁針) アプリを用いた地球の半径を見積もる方法を論じ、 実際に
見積もってみよ.
T
+B
(★)
2
O
0
IC
B
y
(3) 京都 (北緯 35°, 東経 135°) とニューメキシコ州アルバカーキ (北緯35°西経 106°) はほぼ同じ
緯度にある (2) の図をCを北極とした地球に見立て、 関係式() を用いて, 京都とアルバカーキの距
離を求めよ.また, 比較のため、 緯度 35° の線に沿った2地点の距離を求めよ.
(4) (2) における角度 α, B, y はそれぞれに対応する円弧と R の比で表すことができる. このとき, 関
係式(★) は,R→∞ の極限で, 平面上の△ABC の余弦定理となることを示せ .

|11|
14の割合が
ある遺跡から動物の骨と思われる化石が見つかった.この化石の元素分析をした結果, 炭素 12 と炭素
(化石の炭素14の量) 8.5
であることが分かった. この動物は何年に死んだものかを次
=
(化石の炭素12の量) 1013
の資料を参考に求めよ.
資料
地球上の大気や物質中には、 通常の炭素原子 「炭素12」 とは異なる 「炭素14」 とよばれる炭素原子が存在
する. 炭素 14 は, 大気圏上層において宇宙線の作用により窒素から生成される. ところが, 炭素14は不安定
な放射性原子であり, ベータ線を放出して崩壊し、 再び窒素にもどる この様に, 大気中では. 生成と崩壊の
バランスがとれており, 自然界におけるこれら2種類の炭素原子の量の比は一定である. この量の比は, 大昔
(炭素14の量) 1.2
=
である. ところで、炭素14の崩壊は,
も今も変わらないと考えられ,現在の測定値は
1012
(炭素12の量)
5730 年で半分となる割合で起こり、この5730年を炭素14の半減期とよぶ。大気中の炭素は二酸化炭素の
形で存在し, 植物による光合成や、 その植物を食べる動物の食物連鎖によって, 動植物の体内に取り込まれて
(炭素14の量) 1.2
いく.つまり, 動植物の体内においても,
1012 であると考えられる. ここで, 動植物が死滅
(炭素12の量)
すると, 生体内に取り込まれていた炭素14は崩壊して減っていくが、 食物連鎖の対象外となったため, 新た
に炭素14が供給されることはない.
=
12 雑誌を含めて, 全ての書籍に付与されている固有の番号, ISBN (International Standard Book Num-
ber) の秘密について考える.
例: ISBN 4910054230772
末尾の 「2」 は, ｢チェックディジット」 とよばれるもので, その前の12個の数字列 491005423077 が
正しく入力されたかどうか(例えば, バーコードが正しく読み取れたかどうか) を確認するものである.
ここで、チェックディジット ｢2」 は, 「491005423077」 から次の規則により定まっている.
1. 先頭位の数字から順番に 1.3を掛けていく:
491 0 0 5 4 2 3 077
x1 x3 x1 x3 x1 x3 x1 x3 x1 x3 x1 x3
= 4 27 1 0 0 15 4
| 0 0 15 4 6 3 0 7 21
2. 得られた数を加えて, 10で割った余りを求める(法10 で評価する):
4 + 27 + 1 + 15 + 4 + 6 + 3 + 7 + 21 = 4 + 7 + 1 + 5 + 4 + 6 + 3 + 7 +1 = 8 (mod 10)
3. 得られた数 「8」を10から引いて, チェックディジット ｢2」を得る.
但し, 2. で得られた数が0の場合は、チェックディジットを0とする.
(1) あなたの手元にある本の ISBN について, チェックディジットを確認せよ.
(2) 本の汚れなどの理由で, バーコード読み取り機が、 ある1つの数字を読み違えたとする. この間違
いのままチェックディジットを計算すると, その値は, 真の値とは異なることを一般的に論ぜよ.
10-8=2.
(3) バーコード読み取り機が,隣り合う場所にある数字1組についてそれら2つ値を入れ替えて読み
取ってしまった。 この場合は間違いの検知率は100% ではない｡ その理由を一般的に論ぜよ.
F･
13
図のように紙を折る. この操作を続けることにより, 紙の上に浮き上がる曲線について論ぜよ.
Fo
F.
P.

大学数学 中等教育教科法数学 2

Answer 1

ぺんぎん

＿［1]、まず、図を書け。見える化しろ。
＿①、設問①を図示して、返信して下さい。