Question

かいと

わかる方おられないですかね

[1] 連立方程式
の解は次の連立微分方程式の解 yu(t) と y2(t)
y'(t)=Ay(t),y(0) =
- [8]
の一般解を求めよ.
(2)
y1'(t) = Ay1(t), y1 (0)=
0
[8]
1
を使って y(t) = αy1(t)+βy2(t) と書けることを示せ.
[2] 次の連立方程式の解を求めよ.
(1)
1
[8].
y2'′(t) = Ay2 (t), y2(0) =
x' (t) = x(t) + 2y(t)
'(t) = 2x(t)+y(t)
x'(t) = x(t) +2y(t)+et
y'(t) = 2x(t) + y(t) + 2et
の一般解を求めよ.
(3) (2) 解で
(i) (0) = 1,y(0) = 0 を満たすものを求めよ.
(ii) (0)=0,g(0)=1を満たすものを求めよ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

y‘=Ay の解を(y1,y2)とするとこの微分方程式の解はy1とy2の一次結合の形で書ける。
Aが2×2行列なので一次独立な基本解が２つ必要。
t=0における初期値が与えられているので、そこを調整するだけ。
(α,β)=α(1,0)+β(0,1)と分解できる。
(1,0),(0,1)は一次独立なのでこの分解は一意である。
ゆえにy=αy1+βy2となる。

哲治

２番は連立微分方程式を行列使って表して、対角化して解くだけ。
３番は指数行列使うお話ですね。

かいと

ありがとうございます。
[2]がまだ少しわからないので、詳しく教えていただきたいです。

哲治

https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-ode11
このサイトを参考にしてみてください。

かいと

わかりました。ありがとうございます。

哲治

読んでわからなければ、ご説明しますので。

かいと

[2]の(2)が読んでも分かりませんでした。

哲治

これは指数行列のお話ですね。
この資料を参考にしてみてください。

かいと

ありがとうございます！
[3]はどのようにして解けば良いでしょうか

哲治

[3]は[2]の解にt=0を代入して、初期条件を使うだけ。
すると任意定数を変数とする連立方程式が立つから、それを解くだけ。

かいと

すみません、写真送り間違えました。[3]というのはこのことです。

哲治

[2](2)と全く同じです。
(1)(t,0),(2)(0,sint)
と見るだけのお話ですね。

かいと

この形で求まる理解で大丈夫ですかね。

哲治

そうです。
具体例も写真にありますね。

かいと

なるほどです。ありがとうございます。
一般解を求めよの問題はe^tAの形で回答しても大丈夫でしょうか。

哲治

当然ダメですね。
具体例のように
x(t)=,y(t)=
というように連立微分方程式を解いた形で記述しないといけません。