Question

Clearnoteユーザー

数学的帰納法の問題です！解説していただけると幸いです。

課題 1.10 以上の全ての自然数nについて不等式
n32"
が成り立つことを数学的帰納法で示してください.k

Answer 1

Take

もるがんさま

解答してみました。
参考になれば幸いです。

Answer 2

abc

①n=10のとき成り立つことを示す。
左辺=10^3=1000
右辺=2^10=1024
よって左辺<右辺

②n=kのときに成り立つことを仮定して、n=k+1のときに成り立つことを示す。
(k^3<2^kのときに(k+1)^3<2^(k+1)になることを示す。)

k^3<2^kのとき、
(k+1)^3
=k^3+3k^2+3k+1
<2^k+3k^2+3k+1

ここで、k≧10より、
3k^2+3k+1
≧300+30+1
=331(>2)

よって、
(k+1)^3<2^(k+1)

したがって①②より、10以上のすべての自然数について、
n^3<2^n
が成り立つ。

こんな感じです！