逆に関してはぎりぎり高校数学の範囲で証明できます。
ただ、全ての循環小数が分数で表せることが、まず先手だと思います。
私が同じ回答をしたことがあるので、
逆の証明として、載せておきます。
循環小数を分数の形にできるのは、循環小数を無限等比級数で表せるからです。
無限等比級数とは、例えば、1,2,4,8,16...のように、順番に公比2を掛けた数列の総和を意味します。
ここで、循環小数を扱う場合、例えば、A=0.30808080808....（循環小数の記号は省略）
のようなケースを考えます。
すると、A=0.3+0.008+0.00008+0.0000008+....と表すことができます。
このとき、Aは0.3と初項0.08,公比=0.01の無限等比級数で表すことができます。
また、|公比|=|0.01|<1より収束するので、
A=0.3+初項/(1-公比)=0.3+0.008/(1-0.01)と表すことができます。
循環小数の場合、公比は1より小さい値になりますから、常に収束条件を満たすことになります。
ここまで理解するのは、数学の数列という知識が必要になります。
難しい内容ですが、簡単にいうと、循環小数は無限等比級数で表すことができて、
必ず収束する条件を満たすので、分数で表現することが可能となります。
以上です。
回答に不備があるかもしれませんが、
こんな方法で考えました。
