Question

ゆーき

接戦の本数を求める問題です。
写真二枚目のように定数分離をしてy=aとy=h(x)のグラフの交点で考えようとしたのですが上手く行きませんでした。
なぜうまくいかないのでしょうか。
教えてください🙇‍♂️

演習
2-3
曲線 y = xlog x をCとする.
(1) x>0のとき, 不等式 log x + 1 < 2√x が成り立つことを示せ.
(2) C上の点(t, t log t) (t > 0) におけるCの接線の方程式を求めよ.
(3) αを正の定数とする. 点 (α, 0) からCにちょうど2本の接線が引けるようなα
の値の範囲を求めよ.
IN

(3)
$(x)=-1
B
+
== -2X√*
# ( = -2 = 2 )
C: g(x)=xlog x (x 3). (x>0).
g(x) = log x + 1
点(titlest)におけるこの接線の方程式は、
y-tlost = (lost + ¹)(x −¤).
y = (logt + 1) x + tlost-thst-t.
l:y= Clayt+1)x-t₂
(3) <方針>
木2本の接線→2コの接点もの実数解22→
④(a,0)とおる。
(解)lは点(a.o)を通るので、
0 (legtt Da-t.
€ = (log t + Da
1 = logt + 1. a
1 = lot +1
a
h'(t)=
23:35:33)
log t+1
Ilim me Last Ti
T
CO
00
8
loạt txtrời ăn
(dogt + 1)²
9.1
(900--0
7/10 3/10
"log
136
( 530 hltɔx 33) (t >o, tté)
t+1²
O
O
a Q
T
dyt 1
te
018
0.0000/+1
O
Ⓒ
B(t)の増減は次のようになる
t
19
(Co)
y = loft.
-
Bitol (0)
片(t)のグラフは次のようになる
g
1
+
(60)53
y=h²x₂² C2#led
K<a<Q,

2√2
O
π
4
(2) g(x)=1/2 sin'x-sinx + cosxより,
= sin x cos x a--
sx(a.
y=f(x)
g'(x) = asinx cosx-cosx-sin x
sin x+cos x
sin x cos x
f'(x)
f(x)
=sin x cos x{ a −f(x)}
g(x) が極値を2つもつためには, g'(x) の符号変化
が2回起きればよい.
g' (x) の符号とα-f(x) の符号が一致するから, (1)
より,
a>
>2√/2
72
演習2･3
(1) f(x)=2√x (log x+1) (x>0) とおくと,
1 1
f'(x) = + + + + + - =
√x
√x-1
x
...
であるから, f(x) の増減は次のようになる.
(0)
-
1
0
X
1
...
+
よって, f(x) ≧1>0であるから,x>0のとき,
log x +1<2√x
(2) C:y=xlogx (x>0) について,
y'=log x +1
であるから, C上の点(t, tlogt) (t > 0) におけるC
の接線の方程式は,
y-tlog t = (log t+1)(x-t)
y = (log t+1)x-t
(3) ℃について,y'=>0であるから,Cは下に凸で
x
あり、 異なる接点には異なる接線が対応する.
(2)で求めた接線が点 (α, 0) を通るのは,
(logt+1)a-t=0
が成り立つときであるから, ① を満たす異なる実数tの
個数がちょうど2個となればよい。
g (t)= (logt+1)a-t (t >0) とおくと, ①の実数解
tの個数は, y=g(t) のグラフとt軸の共有点の個数と
一致するから, y=g(t) のグラフとt軸が異なる2点で
交わるようなαの値の範囲を求めればよい。
g (t)= (logt+1)a-tより,
g'(t) = -1
であるから, g (t) の増減は次のようになる.
また、
であり,
t
g' (t)
g(t)
より,
(0)
さらに, (1)より、t>0のとき,
t→∞
+
であるから,
lim g(t) = -∞
t→+0
lim(2√/ta-t) = lim t
t-00
laloga
g(t)= (logt+1)a-t<2√/ta-t
limg (t) = -8
よって 求める αの値の範囲は、
a log a > 0
log a>0
a>1
a
2a
0
:
1
=18

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

最後の方のh(t)の増減表がちょっと違いますね。
t→0でh(0)→0は間違っていないですが、0から1にかけて、この間に1/eがあります。これが抜けているので、1＜a＜0なんて変な不等号になってしまっています。
増減表にt＝1/eを入れれば行けるはずです。

ゆーき

お2人ともありがとうございます。
t→1/eに飛ばしてみましたが、おかしなことになりました。。
極限が不定形となってしまうので定数分離はしない方がいいみたいですね。
助かりました🙇‍♂️

ゆーき

載せておきます。

きらうる

グラフなどは写真のであってますよ。

t→1/e+0はh(t)→+∞、t→1/e-0はh(t)→-∞になります。

h(t)＝aなので、写真のグラフとh(t)＝aが2点で交わる部分が答えになります。
よって、a＞1　です。

ゆーき

t→1/e+0はh(t)→+∞、t→1/e-0はh(t)→-∞
の部分が理解できません。
グラフは合っていたんですね、この極限を教えて欲しいです。

きらうる

すみません。遅れました。
以下のように考えましたが、いかがでしょうか。

h(t)=t/(logt+1)
において、

t＝1/e＞0…①
0＜t＜1/eのとき、logt+1＜0…②
t＞1/eのとき、logt+1＞0…③

t→1/e–0 の時 logt+1＜0 だから
lim[t→1/e–0]t/(logt+1)＝–∞

t→1/e+0 の時 logt+1＞0 だから
lim[t→1/e+0]t/(logt+1)＝∞

ゆーき

ありがとうございます！

Answer 2

dcut

0への極限が0というところで違ってきています。
しかし0への極限が無限大だという証明の仕方がわからないので模範解答の道筋でしか答えられないかもしれません。