Question

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想請問這題

(
)4. 如右圖,O-ABCD 為一金字塔,底為邊長為2之正方
形,頂點O與A,B,C,D之距離均為2。請問下列哪些
選項是正確的?
(A) AC-BD=8
(B) OA-OC=CB+CD
(C) |3O4+2OC|=|2OB-30D |
(D)側面 OBA 與側面 OBC 的兩面角大於120°
(E)頂點O到底面的最短距離為2
PHO
A
B

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

綾

A
已知底面為正方形
所以AC會垂直BD
兩者內積為0

B
OA - OC = CA = CB + CD

C
已知底面為正方形且O到四點長度相同
故此為一正四角錐
O在正方形中心的正上方
角AOC = 角BOD
又因為長度相同
故影響長度的只有倍數
可知|3OA+2OC| = |3OB+2OD| = |2OB-3OD|
(另一個想法就是全部換成內積)

D
取BO中點M
因為OAB和OBC皆是正三角形
故AM和CM同時垂直OB
所以只要求AMC的角度就是兩面之夾角
用餘弦定理就可求出夾角θ
cosθ = (|AM|^2 + |CM|^2 - |AC|^2)/ (2*|AM|*|CM|)
= (3 + 3 - 8) / (2*3*3)
= -1/9
因為cos120° = -1/2 < -1/9 = cosθ
所以 θ < 120°

E
令O在ABCD的垂點為H
則H是ABCD的中心 且OH即為所求
用畢氏定理就可得
|BH| = 2^0.5
|OH| = (|OB|^2 - |BH|^2)^0.5 = 2^0.5

BCE