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-b/3aという定数は
全ての3次関数f(x)=ax³+bx²+cx+dは点(-b/3a,f(-b/3a))について点対称である,という結論から来ているものですが,今の段階では
y-(b/3a)というのは
「天下り的に与えられたもの」,
つまり
「何故かは知らないがこう置くと上手く行く」
と考えて進めた方が楽かもしれません.
勿論,ここで扱っている,Cardanoの解法は高校数学範囲外なので,覚えなくて構いません.
一部の大学入試において誘導付きで出題される程度です.
奇関数・・・原点に関して点対称である関数
f(x)が奇関数ならf(-x)=-f(x)
従って,原点に関して点対称な3次関数は
y=ax³+cx
という形をしている.・・・（＊）
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f(x)=ax³+bx²+cx+dは点(-b/3a,f(-b/3a))について点対称になる理由は
上の3次関数の変曲点は(-b/3a,f(-b/3a))になるからです.
変曲点はf(x)をxで2回微分した関数
f''(x)=6ax+2bがf''(x)=0となるようなxの値を求めることで出せます.
そして3次関数f(x)は変曲点に関して点対称です(証明は割愛).
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-b/3a=pと置きます.
f(x)=ax³+bx²+cx+dをx軸方向に-p,y軸方向に-f(p)移動させた関数g(x)は
g(x)＝a(x+p)³+b(x+p)²+c(x+p)+d-f(p)
＝px³+qx²+rx+s
と書けます.
3次関数g(x)が原点に関して対称であることから（＊）より
q=0,s=0
∴g(x)=px³+rx
これを更にy軸方向にf(p)移動させた関数h(x)は
h(x)=px³+rx+f(p) です.ところがh(x)はf(x)をx軸方向に-p移動させた関数でもあるので
a(x+p)³+b(x+p)²+c(x+p)+d
＝px³+rx+f(p)
よって,
a(x-(b/3a))³+b(x-(b/3a))²+c(x-(b/3a))+d
＝px³+rx+f(p)
なのでax³+bx²+cx+dにおいてxをx-(b/3a)に書き換えれば
px³+rx+f(p)とx²は消去された整式に変換できる.
最後の行
×px³+rx+f(p)とx²は消去された整式に変換できる.
○px³+rx+f(p)と,x²を含む項が消去された整式に変換できる.
補足です.
上の解法で
g(x)＝a(x+p)³+b(x+p)²+c(x+p)+d-f(p)
＝px³+qx²+rx+s で出てきたpと
-b/3a=pと置いたときのpが,かぶってしまいましたがこれらは別の数値です.
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g(x)＝a(x+p)³+b(x+p)²+c(x+p)+d-f(p)
＝px³+qx²+rx+s より明らかにa=pなので
g(x)＝ax³+rx
h(x)=ax³+rx+f(p)
∴
a(x-(b/3a))³+b(x-(b/3a))²+c(x-(b/3a))+d
＝ax³+rx+f(p)
＝ax³+rx+f(-b/3a)
返信ありがとうございます。
こんなにたくさん、ありがとうございます!!!!
かなり細かいのですね🤔
はっきりとはわかった訳では無いですが、流れを感じることが出来ました！
とても有り難いです♪
ありがとうございました。
コメントありがとうございます。
そうなのですか､､､
かなり難しいのでしょうか??
一応、難しいことは分かった上で調べていたもので､､､
ちゃんとした理解はまだ出来なくとも、なんとなく全体的に理解というものをしていたくて(^^)
これ以上の説明を少しでもして頂くことは可能でしょうか?
今は理解出来ない可能性はかなり高いですが、いつか見返した時に役立てたいです!!