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軌跡・領域の問題では、与えられた条件を同値変形していくことがとても重要です
(2)の解説を見てみると、②かつX=p+qかつY=pqかつ⑦までが元の条件と同値ですね
そこからさらに②かつX=p+qかつY=pqの部分は解説の通り⑨かつX≧0かつY≧0となり、過不足なく領域がもとまっています
(1)の方では元の条件と同値なのは③かつ④かつ⑤かつ⑥ですよね
この③というのが、見落としている「p,qの存在条件」に当たります
XとYが存在していれば、③の式から自動的にp,qも存在することがわかるということです
一般に軌跡領域の問題では(X,Y)などと置いて他の文字を消去というのが常套手段ですが、文字消去のさいはその文字(今回だとp,q)の存在条件を意識しなければ同値変形にならないことに注意してください
上ならば下だけでなく、下ならば上も必ず満たすということですね
例をあげるなら
√a=b
⇔(同値という意味の記号)
a=b^2 かつ b>0
などでしょうか
√a=b よって a=b^2というのは間違ってはいませんが逆はいえません
これではただの必要条件です
これで差し支えなく議論がすすむ問題もありますが、軌跡領域の問題では下から上も辿れるようにしないと余分な部分まで含まれてしまう可能性があって正しく問題が解けません
なるほどです！もう一度見て考え直してみます！数分後にまた疑問が出たら質問します！
同地であることに重きを置いて見ると
｢そこからさらに②かつX=p+qかつY=pqの部分は解説の通り⑨かつX≧0かつY≧0となり｣という部分は納得が行きましたが、
｢②かつX=p+qかつY=pqかつ⑦までが元の条件と同値である｣というのが、
1Q 元の条件とは
2Q p≧0 q ≧0の時X=p+q、Y=pqが、
X^2-2Y≦8（⑦）
が成立しない時が出てしまうと思っ てしまいました。例えば、p=3 q=2など
この③というのが、見落としている「p,qの存在条件」に当たります。
ここに関しては素直に入っては来なかったのですが、次の文の
XとYが存在していれば、③の式から自動的にp,qも存在することがわかるということです。
というのは、XとYが文字と置かれている時点でp、qが存在しないことになるので、X,Yが存在する範囲を見つけに行けばいいという解釈をしました。
あ、X,Yが存在する範囲=p,qが存在することの証明と範囲が分かるっていう解釈になりましたですかね
1Q
元の条件というのは問題文で問われている条件
すなわち(p,q)がx^2 + y^2 ≦ 8, x≧0, y≧0を満たす
ということです
このときの(p+q,pq)を聞かれているわけだから
X=p+q,Y=pqとして、この計5つの条件を満たすものが答えです
XとYだけの式として全ての条件を同値変形して、他の文字(p,q)は存在条件を意識して文字消去したいという方針が立つわけですね
2Q
p=3,q=2だと⑦を満たしていないので不適
すなわちX=3+2=5, Y=2×3=6
すなわち(5,6)は問題の領域に含まれないということです
②かつX=p+qかつY=pqかつ⑦をみたす(X,Y)は全て求める領域に含まれていて、これを満たさない(X,Y)は全てNGということです
例としてですが、(2)で
問題文の条件 ならば
⑦が成り立つ
というのは正しいですよね
ですが⑦の領域全てが答えになるかというとそうではありません
(X,Y)=(0,1)は⑦を満たしていますが、p+q=0,pq=1を満たすような実数p,qは存在し得ないからです
逆にこんなp,qがp≧0,q≧0の範囲に存在さえしていれば絶対に答えの領域に含まれるということです
p,qが存在してれば下から上が辿れる
どうでしょうか
どこまで理解していてどこで躓いているのかわからないので補足してみますが、
(2)の場合はX=p+q,Y=pqという定義なので適当に(X,Y)を考えると、そういうふうになるp,qが存在するのかどうかわからない
ということです
(1)の場合はp=(X+Y)/2,q=(X-Y)/2となっているので適当に(X,Y)を持ってきても、絶対に実数p,qが存在します
だから特にp,qの存在条件を意識しなくても同値変形になってたというしくみですね
あー！
(1)の場合はp=(X+Y)/2,q=(X-Y)/2となっているので適当に(X,Y)を持ってきても、絶対に実数p,qが存在します
だから特にp,qの存在条件を意識しなくても同値変形になってたというしくみですね
この解説で今少しかっこ1番についてスッキリしました！
この(１)と（2）では、なぜp,qの存在範囲を考えるのか考えないのかの理由が分かりました。そこで、ここからは（2）番だけに関してこのp,qの存在範囲の証明部分に少し複雑さを残してしまっているという感じです
問題文である条件と
自分で作った式から分かる条件が一致することを利用してくのでしょうが
この⑦番が
元の条件に一致するというところがつっかえています
先程のコメントにあった通り自分でも⑦の領域全てが答えにならないというのは分かっていますが、
さきほど（X.Y）=（0.1）の場合は成り立たないからp≧0q≧0のおかげで成り立つことは分かりました
しかし、先程自分がp≧0q≧0という条件からp=3p=2の場合を考えましたが既に⑦の式には合致しないことから
最初から⑦の式を成立すると結果的にも言って良いのかと思ってしまいました
あー、X=p+q,Y=pqのときのp,qが存在するX,Yの条件が理解できてない感じですかね
ここではp≧0,q≧0は一切つかってません
p≧0,q≧0がなくても(X,Y)=(0,1)となる(p,q)は実数範囲では絶対に存在しません
だって考えてみるとp+q=0だからp,qは00か異符号なのにpq=1になるわけなんてないですよね
では一般にX=p+q,Y=pqのときのp,qが存在するX,Yの条件はどう表現できるのか、解説ではなにをやっているのかというと、解と係数の関係を利用しています
2解がp,qの2次方程式は(t-p)(t-q)=0だから同値変形するとt^2-(p+q)t+pq=0です
p,qの存在条件というのは、2次方程式の2解の存在条件と言い換えられるわけですから、すなわち2解の存在条件は(判別式)≧0となるわけですね
もちろんp+q=X,pq=Yなので
tについての2次方程式
t^2-Xt+Y=0
の(判別式)≧0
すなわちX^2-4Y≧0
がX=p+q,Y=pqのときのp,qが存在するX,Yの条件となります(同値変形です)
解説ではその後に(p,qが存在するのを確定させて下から上にたどれるようにした上で)2解が0以上という形でp≧0,q≧0を処理(同値変形)してX,Yの条件にしています
あー！！！！多分完全理解しました。
まず、X=p+q、Y=pqという条件から、
XとYはどんな実数も当てはまる訳では無いことが分かる。
↓
作ったXとYから代入してみると⑦の式が出来上がるが、この⑦の式は全ての実数X,Yは表すことがないため、この式を立てた上で今度はp,qが存在するための条件を求めに行く。
↓
すると、t^2-（p+q）+pq=0という式
が出てきて、これはX=p+q, Y=pqから
X,Yの式へと置き換えると共にp,qが存在する範囲の式へと変化。
↓
このX,Yの式によると
存在するしないの関係からp≧0q≧0
というのがわかり、
これは結果的にもとの提示された条件と一致するため成立。
って感じですかね？
いや、そこでつまってるわけじゃないのかな
⑦が元の条件と一致するというのはあやまりです
⑦かつX=p+q,Y=pqかつ②で問題の条件とぴったり一致します
下から上にたどってみましょう
X=p+q,Y=pqを⑦に代入すると
(p+q)^2-2pq≦8
ですね
変形するとp^2+q^2≦8
これと②の式を合わせて、ちゃんと問題文の条件になってます
んーーー
最後のブロックのp≧0q≧0というのがわかり、結果的に一致ってのがなんとなくずれてそう
んーーーーとねーーー
t^2-（p+q）+pq=0これが成り立つためには
p≧0q≧0である必要があることが最終的に分かるっていうことだと単純すぎますかね？
p≧0,q≧0というのはなんとか同値変形してX,Yで表してやりたい条件です
あと結果的に元の条件と一致したというよりは、1個1個の変形を逆向きも成り立つように細心の注意をはらって行ったから、当然一致してるはずだって感じです
むしろあんまわかってない人はここでうまく同値変形できなくて余計な答えが紛れちゃったりするけど、さっきの解と係数の関係のやつなんかは紛れようがないって感じです
p≧0,q≧0ってのは一旦無視してください
この問題の簡単版としてp≧0,q≧0が問題に載ってないものを考えましょう
この場合でも(判別式)≧0までの同値変形はまったく同じです
答えはブーメランみたいな2つの放物線の間になりますよね
わかりますか
はい！たしかにその2つのグラフのあいだの部分になりますね
これに加えてp≧0,q≧0というのはつまり、2次方程式t^2-Xt+Y=0の2解が共に正であることが必要十分条件な訳ですから、2次関数のグラフを考えても、左辺=f(t)として
f(0)>0かつD≧0かつ軸X/2>0
と同値変形できます
これはよく2次関数の解の配置問題とか言われてたような気がします
これも大丈夫ですか
大丈夫です！
これで答えです！
ブーメランかつX≧0かつY≧0が問題文の条件と同値になってます
あー！！この最後の部分で一つ一つ最初に提示された条件に当てはまってるんですね！
あの解答の0以上の解を持つというのは
f（0）＞0、D≧0, X/2＞0を示すためだったんですね
そうですね
なんかその言い方だと答えがわかってる証明問題みたいな感じがしますが、p≧0,q≧0→→0以上の2解だ！→→ f(0)>0,D≧0,軸X/2>0って流れです
またなにか分かんないとことか理解があやふやなとことかあったら聞いてください
結局p,qの条件から新しい条件の式をみつけ、その新しい条件からp,qの条件をまた証明してあげるっていうのがよく分かりました！
ほんとに粘り強く愚問に付き合って頂き助かりました！
んむむ
どうなんだろう
なんかすごく言い方に違和感があります！
具体的な問題をなしにして、方針を整理すると
(X,Y)をp,qの式で表す
問題にあるp,qの条件をかき集める
p,qの条件を全部X,Yの条件に変形する
↑このときに逆向きもいけるようにp,qの存在条件にも注意して、p,qが存在するためのX,Yの条件も求める((1)だと自明だった、(2)はD≧0)
(曖昧だったら逆向きを追ってみてください)
この説明読んでも大丈夫そうですか？
質問自体はめちゃくちゃいい所だと思いますよ！
かなりいい感じに今頭の中で成立されてると思います！
特にそのp,qの存在条件を求める前のX,Yの式がp,qが存在してかつそれが成り立つように、
p,qの存在条件を求めるという流れは大丈夫だと思います！
かなり、長い時間に及ぶ説明でも理解に時間がかかったので、ここまで粘って頂いたたこと感謝します🙇
返答遅れてすみません。
元の条件と同値であるとは例を一つ挙げるとしたらどのような感じになることですか？
愚問ですみません🙇♀️