Question

あられ

mの最大を考えなくていい理由がわかりません。mがとてつもなく大きくなっても必ず3点で交わるのですか？
別解でm＝…にしグラフを書いて…とすると分かるのですがこの解答で考えた時に最大を考えないのが違和感です。

FR
f(x)=2x+x^-3 とおく。 直線y=mxが曲線y=f(x)と相異なる3点で交わるよう
な実数mの範囲を求めよ。
ポイント 実際に y=f(x)のグラフを描き,これと原点を通る直線y=mxが相異なる
3点で交わるような傾きmの範囲を考えるのが最も自然な発想である。 y=f(x) と
y=mxが接するときに注目する。 また,この種の問題に対する常套手段としては,
3
3
f(x) = mx を変形して, 2x2+x=m(x≠0) とし,y=2x2+xとy=mが相異なる
x
3点で交わるようなmの範囲を求めてもよい。
解法 1
f'(x) = 6x2 +2x=2x(3x+1)
f(x) の増減表は右のようになる。
点 (a, f (a)) における曲線y=f(x) の接線の
方程式は
y- (2a²+α²-3)= (6a²+2a)(x-α)
y = (6a²+2a) x (4a³+ a²+3)
これが原点を通るとき
8
IC
f'(x)
f(x)
0 = - (4a3+ α²+3) (a + 1) (4a²−3a+3) = 0
α は実数であるから
a
a=-1 .....2
よって, 原点を通り, y=f(x) に接する直線の方程式は,
①② より
......
y=4x
したがって, 原点を通る直線y=mxが曲線y=f(x) と
相異なる3点で交わるような実数mの範囲は, グラフ
m>4
〔注〕y=mxとy=f(x) が接するときのmを次のように
して求めることもできる。
+
I
1-3
0
80
27
VA
-1 3
y=4x
O
✓
80
27
・3
4
0
0 +
-3
>
y=f(x)
x
y=mxとy=f(x) が接するとき
mx=f(x) ⇔ 2x3+x²-mx-3=0 ...(*)
が重解を持つから,(*)の解を α,α,B(α は実数)とすると,3次方程式の解と係数
の関係より

微分 積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

やよい

mがとてつもなく大きくなったとして、yが限りなく大きい所(x>0)での二つのグラフをイメージしてみてください。y=f(x)は次第にy軸と平行に近づいていきますが、y=mxは少しづつでもy軸から離れてきているので、二つのグラフをどんどん伸ばしていった先では必ず交わります。
同じことがx<0の場面でも言えるので、mがどれだけ大きくなっても必ず3点で交わります。

あられ

やっぱりそういった感覚が大事なんですかね。
mもyも無限大にしたら分からなくない？？とか考えてました。ありがとうございます。

Answer 2

浪

ごめんなさい🙏全く関係ないんですけど、どこの過去問か教えていただいても良いですか？

あられ

2005年の阪大第1問です！

浪

ありがとうございます！