Question

らむ

(2)の ∵(1) の行から分かりません...
どなたか教えてください

導関数
93
(1) f(x), g(x) をxの整式とするとき, 次の等式を証明せよ。
{ƒ(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+ƒ(x)g'(x)
(2) f(x) を0でないæの整式とする. 自然数nについて
d
¹/__ { f(x)}" =n{f(x)}"~¹ƒ'(x)
dx
であることを証明せよ.
精講
の特殊な例です. どちらも数学Ⅲで
扱うものですが、知っておいて損はないでしょう.
(1) 導関数 f'(x) の定義から出発しましょう.
関数 y=f(x) が与えられたとき、xのおのお
のの値αに対し,f'(a) が存在するとき, 対応
a→f'(a)は1つの新しい関数となります。
これはf(x) から導かれた新しい関数ですから,
f(x) の導関数 (derived function, derivative)
といい, f'(x) と表します。
(x)^x=(1)
f'(x)=lim
f(x+h) -f(x)
h
h→0
f(x) から f'(x) を求めることを微分するとい
います. 導関数の表し方は f'(x) のほかに
dy
d
y', y, dr' anf(x), Df(z)
(1) は積の微分, (2) は合成関数の微分 解法のプロセス
dy
などもあります。」はニュートン, dx
(1) {f(x)g(x)}'
=lim
h→0
BROSSARD a 213
ニッツが用いた記号です.
(2) 自然数nについての証明問題ですから,数
学的帰納法を使うとよいでしょう.
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)
=lim
h→0
はライプ
解答
(1)積の微分
iu-te {f(x)g(x)}
導関数 f'(x) の定義
↓
f(x+h)-f(x)
h
lim-
h-0
↓
(滋賀大)
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(2) 合成関数の微分
{(f(x))"}'
=n{f(x)}"-¹f'(x)
AJSHOW
特に
{(ax+b)"}'
=na(ax+b)-1
この公式は使えるようにして
おこう
{f(x+h)-f(x)}g(x+h)+f(x){g(x+h)-g(x)}
導関数の定義
◆f'(x), g'(x) が現れ
るように工夫する
第6

214 第6章 微分法とその応用
=lim
h→0
[ƒ(x+h)-f(x).
• g(x+h) + f(x)• g(x+h) = g(x)}
h
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(2)n=1のとき, 両辺ともf'(x) となり成り立つ.
n=kでの成立を仮定する (f(x)}*=k{f(x)}^-'f'())()
このとき
d (f(x)} +1=1/((f(x)) *f(z)}
dx
dx
d
dx
=
_{f(x)}f(x)+{f(x)}'f'(x) (… (1))
=k{ƒ(x)}*¯¹ƒ'(x)• ƒ(x)+{ƒ(x)}³ƒ'(x) (¨: ₺)
=(k+1){f(x)}*f'(ェ)
となり,n=k+1 のときも成り立つ。
ゆえに,すべての自然数nについて成立する.
(i) (定数)'=0, (x)'=1
(ii) {kf(x)}'=kfƒ'(x)
() {f(x)=g(x)}'=f'(x)±g'(x) (複号同順)
(2)において, f(x)=x とおくと, (x)'=1 より
(xx)'=nxn-1 (n≧1)
d
dx
○研究 1° 次の公式は定義にもどれば簡単に証明できる.
f(x), g(x) を微分可能な関数を定数とすると
を使えばよい.
(x")'=lim
がある.
ただし, nCk=-
h→0
3°(1) の拡張として
TRA.
である.これにより,すべての整式は微分できることになる.
2°(x)'=nxn-1 を直接示すには二項定理
←{f(x)}=1
(x+h)"=nCox”+nC1₁x²-¹h+nС₂xn-²h²+...+nCnh”
(x+h)” — xn
h
n!
(n-k)!k!'
() SA
ON
nsbnoijoant bavirsh)
h→0
2
k!=k(k-1)･･・・･･3･2･1
180
{(ax+b)"}=n(ax+b)^2(ax+b)'=na(ax+b)^-1
闘事
(土)
-=lim (nx-¹+nC₂xn-²h+...+nCnhn-¹)=nx"-¹
(f(x)g(x)h(x)) = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x)+ƒ(x)g(x)h'(x)
があり, (2)の実用的な応用としては

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ChatGPT (FakeAI)

積の微分法は分かりますか?

らむ

数3の内容でしょうか？
分からないです...

ChatGPT (FakeAI)

積の微分法は
{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)……（＊）
です.この証明が(1)の問題です.
このような誘導が付いているので,数Ⅲを知らなくても出来ると思います.
(2)では(1)を利用します.
（＊）において
f(x)→(f(x))ᵏ,g(x)→f(x)　に置き換えてみましょう.

らむ

分かりました！ありがとうございます😭