Question

にこちゃん

a1=-4,an+1=3an+4^n+1で定義される数列(an)の一般項を求めよ。
漸化式の問題で解き方教えてほしいです。

漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

★漸化式の最後の「＋1」を指数として扱った場合の

参考・概略です
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●a_(1)＝－4，●a_(n＋1)＝3・a_(n)＋4^(n＋1)
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漸化式を変形します

　　　　　　　 a_(n＋1)＝3・a_(n)＋4^(n＋1)

　a_(n＋1)－4・4^(n＋1)＝3・a_(n)－3・4^(n＋1)}

　a_(n＋1)－4・4^(n＋1)＝3・a_(n)－3・4・4^(n)}

　a_(n＋1)－4・4^(n＋1)＝3・{a_(n)－4・4^(n)}

　　【a_(n)－4・4^(n)＝b_(n)と置くと】

　　　　b_(n＋1)＝3・b_(n)

　　　　b_(1)＝a_(1)－4・4^(1)＝－4－4・4＝－12

　　　　　b_(n)は、初項(－12)、公比(3)　の等比数列で

　　　　　　b_(n)＝(－12)･3^(n－1)

　　　　　　b_(n)＝(－4)･3^(n)

　　【b_(n)＝a_(n)－4・4^(n)と戻すと】

　a_(n)－4・4^(n)＝(－4)・3^(n)

　　　　　　a_(n)＝4・4^(n)－4・3^(n)

　　　　　　a_(n)＝4・{4^(n)－3^(n)}

mo1

補足：最初の4行

　a_(n＋1)＝3・a_(n)＋4^(n＋1)　が

a_(n＋1)－P・4^(n＋1)＝3・{a_(n)－P・4^(n)}　の形になるとして

　展開・整理・比較する事により、P＝－4　と、求められますので

　略することも可かと思われます。